神经网络的简单数学基础

一、神经网络的简单数学基础

（一）通用视角下的神经网络

从通用视角出发，神经网络是对人脑工作机制的模拟。人脑中存在大量神经元，它们借助神经突触相互连接，信号在传递过程中，每个神经元都能记录信号特征。

（二）数学角度的简易解读

从数学角度进行简易解读，单个神经元可视为一次矩阵乘法运算与一个激活函数的组合。多个这样的神经元通过复合函数的形式组合在一起，便构成了神经网络的一层。这种基于模拟生物神经元的数学计算模式，能高效地对大规模独立同分布的数据实施非线性映射与处理，为神经网络在各类人工智能任务中的应用奠定了基础。

（三）统计学视角下的神经网络

从统计学视角而言，神经网络的核心目标是预测数据分布。它从已有的数据里学习构建一个模型，进而运用该模型对新数据展开预测。在此过程中，测试数据和训练数据需满足同分布这一重要前提。

二、神经网络作为函数逼近器

（一）神经网络的函数逼近能力

若将神经网络视作一个复杂函数，其具备逼近任意函数的能力。不过，神经网络内部参数（即神经元之间连接的权重）的确定，依赖于函数逼近的求解过程。

（二）通用逼近定理

神经网络的数学理论依托于通用逼近定理（Universal approximation theorem）。该定理表明，神经网络是传统逼近论中逼近函数的一种拓展。只要对神经网络的规模进行巧妙设计，并运用非线性函数进行组合，它就能够以任意精度逼近闭集内的任意连续函数。

（三）函数逼近求解与损失函数

在数学理论研究以及实际应用场景中，函数逼近求解问题屡见不鲜。具体而言，就是在特定的一类函数中寻觅某个函数，使其与已知函数（或观测数据）在特定意义下达成最佳近似表示，同时求出使用该近似函数表示已知函数时所产生的最小误差，这个最小误差即损失函数。对于神经网络来说，通过求解损失函数的最小值，能够确定神经网络中的参数，进而确定逼近函数。

三、神经网络训练中的反向求导

（一）导数的特性

导数体现的是函数的局部特性。当函数的自变量与取值均为实数时，函数在某一点的导数，既是该函数所代表曲线在这一点的切线斜率，从代数层面来讲，又可用于计算函数的瞬时变化率。

（二）神经网络训练中的求导过程

倘若把神经网络看作一个高维复杂函数，那么训练过程实则是对损失函数进行求导。借助求导操作，利用导数的性质探寻损失函数的变化趋势，随后每次对神经网络中的参数进行细微调整，最终逐步逼近得到这个高维函数。

（三）反向求导的关键作用

反向求导在神经网络训练中扮演着关键角色。在训练神经网络时，前向传播过程依据输入数据和当前的参数值计算输出结果，并据此得出损失函数值。而反向求导则从损失函数开始，反向传播误差，计算出每个参数对损失函数的梯度。通过沿着梯度的反方向更新参数，能够使得损失函数逐步减小，从而优化神经网络的性能。这一过程类似于在一个复杂的地形中，沿着最陡峭下降的方向寻找最低点，以达到最小化损失函数的目的。通过不断重复前向传播和反向求导的过程，神经网络能够逐渐学习到数据中的规律，提高预测的准确性。

参考资料

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