XJTUSE 数学建模第一次作业

于 2024-11-01 23:00:16 发布
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分类专栏： # 数学建模 文章标签： 数学建模
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A

  1. 题目

任意拿出黑白两种颜色的棋子N个,排成一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢? 

  1. 基本假设

两个图可以通过旋转后重合, 则我们认为它们是等价的。

  1. 题目分析

我们认为黑棋为1，白棋为-1，先将初始状态的旗子编码。假设有5个旗子，则编码b0为a_1a_2a_3，其中a_1-a_3分别取1或者-1.

我们认为“在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子”为乘运算⊕，也叫一次状态转移。

我们可以看出，当进行两次状态转移后：

第j列首个棋子的下标为j；每个棋子的下标按1递增（mod n）；第i步每项共有i+1个棋子；第i步每项的指数是杨辉三角形的第i+1行。

  1. 建立数学模型

  1. 测试及结果

测试一下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class h1 {
    static int count;

    public static void main(String[] args) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        Random random = new Random();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        // 初始化逻辑
        try {
            System.out.println("你希望有多少个棋子（建议：2-30）");
            count = sc.nextInt();
            sc.nextLine(); // 处理输入缓冲区中的换行符

            if (count < 2 || count > 100) {
                System.out.println("棋子数量必须在2到100之间，请重新输入。");
                return;
            }

            System.out.println("你想要自己确定棋子的位置吗？\n是则输入1，否则输入0");
            int number2 = sc.nextInt();
            sc.nextLine(); // 处理输入缓冲区中的换行符

            if (number2 == 1) {
                System.out.println("请输入" + count + "个1或者-1，以空格分隔：");
                String input = sc.nextLine();

                String[] values = input.split(" ");

                if (values.length != count) {
                    System.out.println("输入的值数量与棋子数量不符，请重新输入。");
                    return;
                }

                for (String value : values) {
                    try {
                        int number = Integer.parseInt(value);
                        if (number != 1 && number != -1) {
                            System.out.println("输入的值无效，请确保输入的是1或者-1。");
                            return;
                        }
                        list.add(number);
                    } catch (NumberFormatException e) {
                        System.out.println("输入的值无效，请确保输入的是整数。");
                        return;
                    }
                }
            } else {
                for (int i = 0; i < count; i++) {
                    int randomNumber = random.nextBoolean() ? 1 : -1; // 随机生成1或-1
                    list.add(randomNumber);
                }
            }
        } catch (Exception e) {
            System.out.println("发生了一个错误，请检查输入并重试。");
        } finally {
            sc.close(); // 关闭Scanner对象
        }
        // 输出列表内容
        System.out.print("初始状态下：");
        for (int number : list) {
            System.out.print(number + " ");
        }
        System.out.println(); // 换行

        // 进行运算
        int number3 = 10;
        for (int i = 0; i < number3; i++) {
            // 保存下标为0的元素
            int firstElement = list.get(0);
            // 计算相邻元素的乘积并更新列表
            for (int j = 0; j < count - 1; j++) {
                list.set(j, list.get(j) * list.get(j + 1));
            }
            list.set(count - 1, list.get(count - 1) * firstElement);

            // 输出更新后的列表内容
            System.out.print("第"+ i+"次状态转移后：");
            for (int number : list) {
                System.out.print(number + " ");
            }
            System.out.println(); // 换行
        }
    }
}

结论一测试结果如下：

 图1  棋子数为4时状态转移情况

 图2  棋子数为8时状态转移情况

 图3  棋子数为16时状态转移情况

可以初步验证结论一的正确性。

我们也可以观察到，除去初始状态，每一个状态的-1数量总为偶数，可以初步验证结论二的正确性。

C

  1. 题目

一种物品的包装盒规格为1x2x4（dm3），准备放入一个规格为6x6x6（dm3）的正方形包装箱内。如何装才能使所放物品最多？

  1. 基本假设

假设物品之间没有间隙，且不考虑任何其他限制条件。

  1. 建立数学模型

我们可以反向思考，想让所放物品最多，那就是尽可能减少空隙，因为包装盒和物体都是立方体，我们可以让最下层尽可能堆叠满。

那么我们将1*2的面朝底部放，放置18个，这样已经完全填充了正方体的下面四层，接下来将1*4的面朝底部放，可以放置8个，还剩下2*2*2的体积，无法再放下了。

我们下面证明放置26已经是最大可能情况:

当我们想放置最后一个物体时，需要保证4的最大边被成功放置，也就是说，每一个物体都要占据4格的位置，但是6无法被4整除，也就无法放置最后一个。

附录：

  1. A
  1. 验证方法：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class h1 {
    static int count;

    public static void main(String[] args) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        Random random = new Random();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        // 初始化逻辑
        try {
            System.out.println("你希望有多少个棋子（建议：2-30）");
            count = sc.nextInt();
            sc.nextLine(); // 处理输入缓冲区中的换行符

            if (count < 2 || count > 100) {
                System.out.println("棋子数量必须在2到100之间，请重新输入。");
                return;
            }

            System.out.println("你想要自己确定棋子的位置吗？\n是则输入1，否则输入0");
            int number2 = sc.nextInt();
            sc.nextLine(); // 处理输入缓冲区中的换行符

            if (number2 == 1) {
                System.out.println("请输入" + count + "个1或者-1，以空格分隔：");
                String input = sc.nextLine();

                String[] values = input.split(" ");

                if (values.length != count) {
                    System.out.println("输入的值数量与棋子数量不符，请重新输入。");
                    return;
                }

                for (String value : values) {
                    try {
                        int number = Integer.parseInt(value);
                        if (number != 1 && number != -1) {
                            System.out.println("输入的值无效，请确保输入的是1或者-1。");
                            return;
                        }
                        list.add(number);
                    } catch (NumberFormatException e) {
                        System.out.println("输入的值无效，请确保输入的是整数。");
                        return;
                    }
                }
            } else {
                for (int i = 0; i < count; i++) {
                    int randomNumber = random.nextBoolean() ? 1 : -1; // 随机生成1或-1
                    list.add(randomNumber);
                }
            }
        } catch (Exception e) {
            System.out.println("发生了一个错误，请检查输入并重试。");
        } finally {
            sc.close(); // 关闭Scanner对象
        }
        // 输出列表内容
        System.out.print("初始状态下：");
        for (int number : list) {
            System.out.print(number + " ");
        }
        System.out.println(); // 换行

        // 进行运算
        int number3 = 10;
        for (int i = 0; i < number3; i++) {
            // 保存下标为0的元素
            int firstElement = list.get(0);
            // 计算相邻元素的乘积并更新列表
            for (int j = 0; j < count - 1; j++) {
                list.set(j, list.get(j) * list.get(j + 1));
            }
            list.set(count - 1, list.get(count - 1) * firstElement);

            // 输出更新后的列表内容
            System.out.print("第"+ i+"次状态转移后：");
            for (int number : list) {
                System.out.print(number + " ");
            }
            System.out.println(); // 换行
        }
    }
}

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