面试算法（三十二）从1到n整数中1出现的次数

1、题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

解法一：

累加1到n中每个整数1出现的次数，可以每次通过对10求余数判断整数的个位数是不是1。如果这个数字大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1。

int NumberOf1Between1AndN(unsigned int n)
{
	int number = 0;
	for(unsigned int i=1; i<=n; ++i)
		number += NumberOf1(i);
	return number;
}

int NumberOf1(unsigned int )
{
	int number = 0;
	while(n)
	{
		if(n % 10 == 1)
			number++;
		n = n / 10;
	}
	return number;
}

上述代码中，如果输入数字n，n有O(logn)位，需要判断每一位是不是1，时间复杂度是O(n*logn)。

解法二：

用一个稍微大一点的数字比如21345作为例子来分析。

把从1到21345的所有数字分为两段，一段是从1到1345，另一段是从1346到21345。

先看从1346到21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况。首先分析1出现在最高位的情况。从1346到21345的数字中，1出现在10000~19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000个。

接下来分析1出现在除最高位之外的其他四位数中的情况。例子中1346~21345这20000个数字中后4位中1出现的次数是2000次。由于最高位是2，我们可以把1346~21345分成两段，1346~11345和11346~21345。每一段剩下的4位数字中，选择其中一位是1，其余三位可以在0~9这10个数字中任意选择，因此根据排列组合，总共出现的次数是2*10^3=2000次。

至于从1到1345中1出现的次数，就可以递归求得了。

int NumberOf1Between1AndN(int n)
{
	if(n <= 0)
		return 0;
	char strN[50];
	sprintf(strN, "%d", n);
	return NumberOf1(strN);
}

int NumberOf1(const char* strN)
{
	if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0')
		return 0;

	int first = *strN - '\0';
	unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN));

	if(length == 1 && first == 0)
		return 0;
	if(length == 1 && first > 0)
		return 1;

	//假设strN是"21345"
	//numFirstDigit是数字10000~19999的第一个位中的数目
	int numFirstDigit = 0;
	if(first > 1)
		numFirstDigit = PowerBase10(length - 1);
	else if(first == 1)
		numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1;

	//numFirstDigits是1346~21345除了第一位之外的数位中的数目
	int numOtherDirits = first * (length-1)* PowerBase10(length-2);

	//numRecursive是1~1345中的数目
	int numRecursive = NumberOf1(strN + 1);

	return numFirstDigit + numOtherDirits + numRecursive;
}
int PoweBase10(unsigned int n)
{
	int result = 1;
	for(unsigned int i=0; i<n; ++i)
		result *= 10;
	return result;
}

此种方法是每次去掉最高位做递归，递归的次数和位数相同。一个数字n有O(logn)位，因此时间复杂度是O(logn)。