蓝桥杯练习-入门训练-Fibonacci数列

最新推荐文章于 2025-03-11 13:30:00 发布

ziv404

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分类专栏： ACM之大杂烩

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蓝桥杯练习-入门训练-Fibonacci数列

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问题描述

Fibonacci数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=F2=1。
当n比较大时，Fn也非常大，现在我们想知道，Fn除以10007的余数是多少。

输入格式

输入包含一个整数n。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示Fn除以10007的余数。

说明：

在本题中，答案是要求Fn除以10007的余数，因此我们只要能算出这个余数即可，而不需要先计算出Fn的准确值，再将计算的结果除以10007取余数，直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。

样例输入

样例输出

样例输入

样例输出

数据规模与约定

1 <= n <= 1,000,000。

解题思路

斐波那契数列，
方法一：没什么好说的，暴力模拟

AC代码

#include<iostream>
#include<string>
#define ll long long int
const int mod = 10007;
using namespace std;
int main() {
	ll n;
	while (cin >> n) {
		ll a = 1, b = 1;
		ll a1 = 1, b1 = 1;
		for (int i = 3; i <= n; ++i) {
			a1 = b % mod;
			b1 = (a + b)%mod;
			a = a1;
			b = b1;
		}
		cout << b << endl;
	}
	return 0;
}

####方法二：矩阵快速幂
构造矩阵表达式
$\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}\\ \end{vmatrix} *\begin{vmatrix} {f_{n-1}}\\ {f_{n-2}}\\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} {f_{n}}\\ {f_{n-1}}\\ \end{vmatrix}$
易知，
$\begin{vmatrix} {1}&{1}\\ {1}&{0}\\ \end{vmatrix} *\begin{vmatrix} {f_{n-1}}\\ {f_{n-2}}\\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} {f_{n}}\\ {f_{n-1}}\\ \end{vmatrix}$
所以
$\begin{vmatrix} {1}&{1}\\ {1}&{0}\\ \end{vmatrix}^{n-2} *\begin{vmatrix} {f_{2}}\\ {f_{1}}\\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} {f_{n}}\\ {f_{n-1}}\\ \end{vmatrix}$

####AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod = 10007;
struct matrix {		//矩阵 
	int m[2][2];
}ans;

matrix base = { 1, 1, 1, 0 };

matrix multi(matrix a, matrix b) {	//矩阵相乘，返回一个矩阵 
	matrix tmp;
	for (int i = 0; i < 2; i++) {
		for (int j = 0; j < 2; j++) {
			tmp.m[i][j] = 0;
			for (int k = 0; k < 2; k++)
				tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
		}
	}
	return tmp;
}

int matrix_pow(matrix a, int n) {	//矩阵快速幂，矩阵a的n次幂 
	ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;	//初始化为单位矩阵 
	ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
	while (n) {
		if (n & 1) ans = multi(ans, a);
		a = multi(a, a);
		n >>= 1;
	}
	return ans.m[0][1];
}

int main() {
	int n;
	while (cin>>n) {
		cout << matrix_pow(base, n) << endl;
	}
	return 0;
}