方程组的几何解释

最新推荐文章于 2025-08-20 07:19:00 发布

天道酬勤whn

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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本文通过实例讲解了如何使用线性代数中的矩阵和向量概念来解决线性方程组问题，包括方程组的矩阵表示、列向量的线性组合以及解的存在条件。

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从一个例子讲起：2个方程，2个未知数的方程组
$\left\{ \begin{aligned} 2x-y=0\\ -x+2y=3\\ \end{aligned} \right.$
写成矩阵形式为
$\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$
第一个矩阵称为系数矩阵A，第二个矩阵称为x，第三个矩阵称为b，这样方程组可写为 $A x = b$ ，一个行图像显示一个方程，可以画出该方程组的行图像：
在这里插入图片描述
列图像：
原方程组可写为 $x[2−1]+y[−12]=[03]x\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$ ，该方程是寻找如何将 $[2−1]\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}$ 和 $[−12]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$ 两个向量正确组合，来构成 $[03]\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$ ，这就需要找到正确的线性组合。将 $[2−1]\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}$ 记作 $col_1$ ， $[−12]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$ 记作 $col_2$ ，当x=1,y=2时，等式成立。下面画出列向量：
在这里插入图片描述
如果选取所有的x和y，即所有的组合，结果会得到整个二维空间。下面来看三维空间的例子：
$\left\{ \begin{aligned} 2x-y=0\\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4 \end{aligned} \right.$
在这里 $A=[2−10−12−10−34]，b=[0−14]A=\begin{bmatrix}2&-1&0 \\ -1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix}0 \\ -1\\4\end{bmatrix}$ 。在三维空间中，每一个方程确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。将方程组写成列向量的线性组合：
$x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}$
同样将这三个列向量分别称为 $col_1、col_2、col_3$ ，显而易见，当 $x = y = 0, z = 1$ 时满足该等式。但不是对于所有的右侧向量 $b$ 都有解，当 $col_1、col_2、col_3$ 共面时，只有当 $b$ 在此平面内时，方程组才有解，否则无解。

最后介绍矩阵形式的 $A x = b$ ，举个例子，取 $A=[2513]，x=[12]A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}，x=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ ，则 $Ax=[2513][12]=1[21]+2[53]=[127]Ax=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\7\end{bmatrix}$