Fibonacci数列的高效求法

Fibonacci数列的定义总所周知，如下：

f(0)=1,f(1)=1

f(x)=f(x-1)+f(x-2) ,这是在x大于1时的递推表达式。

方法一：

一个简单的求Fibonacci数列的递归的方法如下：

#include<iostream> #include<ctime> using namespace std; int Fibonacci(int x){//x的起点从0开始 if(x<2)return 1; return Fibonacci(x-1)+Fibonacci(x-2); } int main(){ int n; clock_t b,e; while(cin>>n){ b=clock(); int ans=Fibonacci(n); e=clock(); cout<<"time: "<<e-b<<"ms. anwser: "<<ans<<endl; } return 0; }

这是一种比较低效率的代码，并不是因为递归所以低效，真正的原因在于这个递归代码的运算要根据前两个Fibonacci数值来计算。由于代码本身没有保存临时计算结果的数组，因此每计算一个Fibonacci值都需要重新计算前两个，导致大量数据的重复计算。粗略的估算一下，这个算法的时间复杂度为O(2^n),相当的大。

 

下图为参考运行时间：

方法二：

采取数组保存临时计算结果，使用的同样为上面的递归代码：

#include<iostream> #include<ctime> using namespace std; int Fibonacci(int x,int *t){//x的起点从0开始 if(t[x]!=0)return t[x]; t[x]=Fibonacci(x-1,t)+Fibonacci(x-2,t); return t[x]; } int main(){ int n; clock_t b,e; int *t; while(cin>>n){ b=clock(); t=new int[n+2]; memset(t,0,(n+2)*4); t[0]=t[1]=1; int ans=Fibonacci(n,t); delete t; e=clock(); cout<<"time: "<<e-b<<"ms. anwser: "<<ans<<endl; } return 0; }

采用了临时数据保存机制，可以大大缩短计算时间，附图一张：

方法三：

这是一种高效的算法，不用存储临时数据，这种方法较前两种无论是空间还是时间都有大大提升。

代码中采用了线性代数的有关知识，用到了矩阵相乘。代码主要采取一下递推式最为编码依据：

 

代码如下：

#include<iostream> using namespace std; class Matrix{ public: Matrix(){ val[0][0]=1,val[0][1]=1; val[1][0]=1,val[1][1]=0; } void toUnit(){ val[0][0]=1,val[0][1]=0; val[1][0]=0,val[1][1]=1; } Matrix& operator*=(const Matrix& another){ int a=val[0][0]*another.val[0][0]+val[0][1]*another.val[1][0]; int b=val[0][0]*another.val[0][1]+val[0][1]*another.val[1][1]; int c=val[1][0]*another.val[0][0]+val[1][1]*another.val[1][0]; int d=val[1][0]*another.val[0][1]+val[1][1]*another.val[1][1]; val[0][0]=a,val[0][1]=b,val[1][0]=c,val[1][1]=d; return *this; } int value(){ return val[0][0]+val[0][1]; } private: int val[2][2]; }; int Fibonacci(int n){ if(n==0||n==1)return 1; Matrix t; Matrix matrix; matrix.toUnit(); for(int i=1;i<n;++i) matrix*=t; return matrix.value(); } int main(){ int n; while(cin>>n){//n太大结果会溢出 int ans=Fibonacci(n); cout<<n<<"th :"<<ans<<endl; } return 0; }

该算法的时间复杂度为O(N),空间先消耗也很小。运行时间如下：

由于数据溢出，当n很大时数据会溢出。如果将数组val换成高精度运算类,可以显示出正确的结果，而不是负数了。