斐波拉契之高效求解算法

最新推荐文章于 2023-12-04 00:19:07 发布

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#斐波拉契 #动态规划

本文探讨了斐波那契数列的计算问题，指出递归算法在处理大数值时效率低下，时间复杂度为O(2^n)。提出了三种更高效的解决方案：1) 使用循环代替递归，时间复杂度为O(n)；2) 应用动态规划方法，同样达到O(n)的时间复杂度；3) 利用矩阵相乘法，将时间复杂度降至O(log n)。通过这些方法，可以显著提高求解大值斐波那契数的速度。

斐波拉契数列相信大家都不陌生，是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,7......其递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2),(n>=2)。由于递推公式的存在，于是大家就立即想到使用递归来写，一股脑码下如下代码：

int fi(int n){
    if(n==0){
        return 0;
    }else if(n==1){
        return 1;
    }else{
        return fi(n-1)+f(n-2);
    }
}

这段代码一看还是非常简洁易懂的，但是这样的代码只有在当n值比较小的时候才是可行的，当n比较大的时候，由于时间复杂度太大，这个算法是不可行的，递归式的算法时间复杂度为O(2^n)。例如当n达到50的时候运行时间就已经达到了秒数级了。那么有没有什么高效一点的算法呢。

1、使用循环代替递归

int fi(int n) {
		if (n == 0) {
			return 0;
		}
		else if (n == 1) {
			return 1;
		}
		else
		{
			int f0 = 0;
			int f1 = 1;
			int f2 = 0;
			for (int i = 2; i <= n; i++) {
				f2 = f0 + f1;
				f0 = f1;
				f1 = f2;
			}
			return f2;
		}
	}

循环算法的时间复杂度为O(n)。

2、使用动态规划求解

int fi(int n){
    int *a=new int[n];
    for(int i=0)
        a[i]=0;
    a[1]=0;
    for(int i=2;i<n;i++){
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    }
    return a[n-1];
}

动态规划算法的时间