解析函数/全纯函数

解析函数

1. 在区域 $D$ 内每一点都可导的函数， 称为 $D$ 内的解析函数，或者说函数在 $D$ 内解析【满足可微与C-R方程即可】。函数$f(z)$的不解析点称为奇点。【解析函数也叫全纯函数】

   C-R方程反映了解析函数的实部与虚部之间的联系，我们可以得到$u_x=v_y,u_y=-v_x$。例如实部 $u(x,y)$，就可以唯一地确定其虚部。

   解析函数可以解释为任何一种无旋、无散度 [无源无旋] 的平面稳定场的复势。例如平面静电场
   复势: $f(z)=u+ivu$ 为力函数，$v$ 为势函数

2. 不是任意一个二元函数都可以用来作为解析函数的实部或虚部，解析函数的实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$ 的二阶偏导数一定存在并且连续，因此，根据 Cauchy-Riemann 方程，有
   $$\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y},& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y},& \frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\end{array}$$
   由C-R方程可推出，$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都必须满足二维 Laplace 方程

   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\frac{{\partial }^{}}{\partial x^2}$$