[NOI Online 2021 入门组] 切蛋糕

题目描述:

Alice、Bob 和 Cindy 三个好朋友得到了一个圆形蛋糕，他们打算分享这个蛋糕。

三个人的需求量分别为 a,b,c现在请你帮他们切蛋糕，规则如下：

1. 每次切蛋糕可以选择蛋糕的任意一条直径，并沿这条直径切一刀（注意切完后不会立刻将蛋糕分成两部分）。

2. 设你一共切了 n 刀，那么你将得到 2n 个扇形的蛋糕（特别地，切了 0 刀被认为是有一个扇形，即整个圆形蛋糕），将这些蛋糕分配给 Alice，Bob 和 Cindy，要求每个扇形蛋糕只能完整地分给一个人。

3. 三人分到的蛋糕面积比需要为 a:b:c（不保证是最简比例，且如果 a:b:c 中某个数为 0，表示那个人不吃蛋糕）。

为了完成这个任务，你至少需要切几刀？

输入格式:

本题单个测试点包含多组数据。

第一行包含一个整数 T，表示数据组数。

接下来 T 行，每行包含三个整数 a,b,c，表示三人的需求量。

输出格式:

输出 T 行，第 i 行的输出表示第 i组数据中你至少需要切蛋糕的次数。

输入输出样例:

输入 #1:

6
0 0 8
0 5 3
9 9 0
6 2 4
1 7 4
5 8 5

输出 #1:

0
2
1
2
3
2

说明/提示

样例 1 解释:

数据范围与提示

30% 的数据满足：a=b=0。

60% 的数据满足：a=0。

100% 的数据满足：1≤T≤10^4，0≤a,b,c≤10^8，保证 a+b+c>0。

 思路：

这一道题做法是分类讨论。

假设 a≤b≤c，那么就有以下结论：

● a,b 等于 0

很明显，一刀都不用切，全部给 c就可以了，切零刀。

● 有且仅有 a 等于 0

● b=c

在这种情况下，分出两半分别给 b,c 即可，切一刀。

● b≠c

  在这种情况下，切一刀肯定是不行的。但是，容易证明，切两刀可以将蛋糕分成任意比例的两份。因此切两刀。

● a,b,c≠0且 a=b（b=c 同理）

  可以切两刀，分成的四份中，取任意相同的两份给 a,b，剩下相同的两份给 c 即可（按照a=0&b!=c 的结论推出）

● a,b,c≠0且 a+b=c

可以切两刀，分成的四份中，取两份不同的给 a,b，剩下不同的两份给 c 便可以满足 a+b=c；依然按照 a=0&b!=c 的结论得到，上述情况可以成立。

● 否则

切三刀。根据 a=0&b!=c 的结论容易扩展得，切三刀可以分成任意三份的比例。

容易证明，切两刀可以将蛋糕分成任意比例的两份。

对于这一段的证明如下：

设圆的面积为 S，切两刀得到如下：

由于这两道是随意切的，所以 k 可以取到 0<k<1 的所有值。因此，同样颜色的扇形面积之和也可以取到 0<S'<S 的所有值。 

代码：

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件 
using namespace std; //批准使用std类 
int main(){ ///main主函数 
	int t; //样例数 
	cin>>t; //输入 
	while(t--){ //输入t个样例 
		int a[3]; //定义a,b,c 
		cin>>a[0]>>a[1]>>a[2]; //输入 
		sort(a,a+3); //排序,要满足a<=b<=c 
		if(a[0]==0&&a[1]==0) //第一种情况 
		  cout<<"0"<<endl; //输出0 
		else if(a[0]==0){ //如果一个为0 
			if(a[1]==a[2]) //看看另外两人是否相等 
			  cout<<"1"<<endl; //相等就切一刀 
			else //不相等 
			  cout<<"2"<<endl; //切两刀(以证明切两刀能分出所有比例) 
		}
		else{ //如果三个都没有为0的 
			if(a[0]==a[1]||a[1]==a[2]||(a[0]+a[1]==a[2])) //如果有任意两个相等或者第一个加第二个等于第三个 
			  cout<<"2"<<endl; //就只用切2刀 
			else //否则 
			  cout<<"3"<<endl; //切三刀 
		}
	}
	return 0; //结束 
}

总结;

   这道题作为NOI Online 2021的第一题，还是比较简单的，只需要手推一下，就可以进行分支判断了！

题目链接：

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