智力题开灯问题

最新推荐文章于 2020-10-23 15:30:01 发布

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文章标签：完全平方数开灯

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wo17fang/article/details/46365951

该博客解决了一个数学智力问题：1到100的灯按照编号倍数进行开关操作后，哪些灯会处于关闭状态。通过分析发现，灯的编号为完全平方数时，开关次数为奇数，因此灯最终关闭。经过证明，100以内共有10个完全平方数，即1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的灯会被关闭。博客还提供了这些数字的列表作为答案。

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题目：

对一批编号为1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号是哪些？

分析：

就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。

证明：

如果数m是n的约数，那么数n/m一定也是n的约数，（它们是一对）。

但如果n是完全平方数时，存在这样的情况：m=根号n，m是n的约数，n/m与m相等（在其他情况下两者都不相等）。（此时单一个约数）

由以上两点可得n的约数个数一定是奇数。

因为10^2=100，可知100以内共有10个平方数，即，最后关熄状态的灯共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;
//对一批编号为1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；
//2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号是哪些？
int main() {
	bool a[100]={0};
	for(int i=0;i<100;i++){
		a[i]=1;
	}
	for(int i=0;i<100;i++){
		for(int j=0;j<100;j++){
			if((j+1)%(i+1)==0){
				a[j]=!a[j];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<100;i++){
		if(a[i]==0){
			cout<<i+1<<"\t";
		}
	}
	return 0;
}

运行结果如下：

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100