最长上升子序列vs最长非递减子序列

上面的这两个都可以直接用dp来写，但是dp的话复杂度是 $n^2$,复杂度还是太大了

先从最长上升子序列说起

二分+贪心

我们可以维护一个到 $a[i]$的最长上升子序列，每次遇到一个新的数 $x$ 就在刚刚的序列里面二分查找第一个大于等于 $x$ 的位置，这里直接二分就行，如果序列的最大一个元素还是小于 $x$,那么我们的x就直接放到序列的最后面

$[2,4,7]$ 当前 x = 8, 那么8就可以直接插入序列的末尾就可以维护一个更长的上升序列

$[2,4,7]$ 当前 x = 5, 那么5应该插入到 7 的位置，这样可以维护一个长度相等，但是一个更优的序列

代码如下：

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        g = []
        for x in nums:
            j = bisect_left(g,x)
            if j == len(g):
                g.append(x)
            else:
                g[j] = x
        return len(g)

如果是最长非递减子序列呢，这个就要求我们维护的序列中可以存在相同的元素
改进也很简单

# 上面的代码只用修改 bisect_left
# 改成 
j = bisect_right(g,x)

万能法：线段树或树状数组

我们可以直接定义 $dp[i]$ 为以 $a[i]$ 结尾的序列的最大长度，那么应该怎么转换呢

$dp[i]=max(dp[j])+1,j<ia[j]<a[i]$
我们怎么找到所有索引在$i$之前，且$a[j]<a[i]$ 的$dp[j]$ 最大值呢

我们用到权值线段树，不用数组$a[i]$ 的下标索引 $i$ 作为线段树的插入索引，而是用$a[i]$的值作为索引，$dp[i]$ 作为线段树中我们要维护的值，我们每次只要查询 $[1,a[i]]$ 之间的最大值就可以得到满足的最大的$dp[j]$,（注意，最长上升子序列是$[1,a[i]-1]$,最长非递减子序列是$[1,a[i]]$

注意一下update函数的更新细节

         if l==r:
             self.t[o] = max(self.t[o],x)  # 可能会重复更新