[USACO Nov08]玩具toys解题报告

题目

http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2007

分析

首先，稍有常识的人都会看出，这道题其实就是网络流24题中“餐巾问题”的加强版。

“餐巾问题”的标准做法是费用流：每天拆成两点(i,i')，然后S向i'连容量Ti（第i天用量），费用0的边，代表当天的脏餐巾。当然还有别的边，但这个是最重要的。

其实“餐巾问题”还有一个枚举+贪心的做法。

假设我们已经确定了一共新买多少餐巾。那我们一开始就把这些餐巾全买下来，然后从第1天到第N天逐天进行模拟：

①如果还有一些新买的餐巾，就用掉它们。

②如果不够，从后往前枚举第i-slow~1天，慢洗这些天的脏餐巾。（慢洗需要slow天）

③如果还不够，从后往前枚举第i-fast~i-slow+1天，快洗这些天的脏餐巾。（快洗需要fast天）

这个做法的正确性比较显然。就是尽量慢洗，不行再尽量快洗，并且尽量使用靠后日期产生的脏餐巾。

对“餐巾问题”而言，我们只需要暴力枚举总共买多少餐巾即可。

但对于这里N<=10^5的情况而言，暴力枚举并不行。

怎么办呢？

答案是：假如把新买x个的花费视作一个函数f(x)，那么它是单峰的（严格来讲是下凸）。

为什么呢？回到我们的网络流模型。一开始我们会把代表脏餐巾的边流满（费用为0），然后每流一次，就代表多买一些餐巾。而每次找出的最短路长度是在不断上升的，换言之，f(x)的一阶导数在不断上升（这个‘一阶导数’可以粗略地认为是每次找出的最短路长度）。于是f(x)就是下凸的了。

所以三分x就可以解决N<=10^5的这道题了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<deque>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SIZEN=100010;
const int INF=0x7fffffff/2;
int N;
int price;
int slow_cost,slow_wait,fast_cost,fast_wait;
int need[SIZEN]={0};
deque<pair<int,int> > can_slow,can_fast,late;//first是日期,second是个数
int calc(int buy){//购买buy个
	int ans=buy*price;
	can_fast.clear();can_slow.clear();late.clear();
	for(int i=1;i<=N;i++){
		while(!late.empty()&&late.front().first<=i-fast_wait){
			can_fast.push_back(late.front());
			late.pop_front();
		}
		while(!can_fast.empty()&&can_fast.front().first<=i-slow_wait){
			can_slow.push_back(can_fast.front());
			can_fast.pop_front();
		}
		int now=need[i];
		int t=min(now,buy);
		now-=t,buy-=t;
		while(now&&!can_slow.empty()){
			t=min(now,can_slow.back().second);
			ans+=t*slow_cost;
			now-=t,can_slow.back().second-=t;
			if(!can_slow.back().second) can_slow.pop_back();
		}
		while(now&&!can_fast.empty()){
			t=min(now,can_fast.back().second);
			ans+=t*fast_cost;
			now-=t,can_fast.back().second-=t;
			if(!can_fast.back().second) can_fast.pop_back();
		}
		if(now) return INF;
		late.push_back(make_pair(i,need[i]));
	}
	return ans;
}
void work(void){
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=N;i++) r+=need[i];
	while(r-l>2){
		int m1=(2*l+r)/3,m2=(l+2*r+2)/3;
		int f1=calc(m1),f2=calc(m2);
		if(f1>=f2) l=m1;
		else r=m2;
	}
	int ans=INF;
	for(int i=l;i<=r;i++) ans=min(ans,calc(i));
	printf("%d\n",ans);
}
void read(void){
	scanf("%d",&N);
	scanf("%d%d",&fast_wait,&slow_wait);
	scanf("%d%d",&fast_cost,&slow_cost);
	if(fast_wait>slow_wait){
		swap(fast_wait,slow_wait);
		swap(fast_cost,slow_cost);
	}
	if(slow_cost>fast_cost){
		slow_wait=fast_wait;
		slow_cost=fast_cost;
	}
	scanf("%d",&price);
	for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&need[i]);
}
int main(){
	freopen("toy.in","r",stdin);
	freopen("toy.out","w",stdout);
	read();
	work();
	return 0;
}