[CF 335E]Counting Skyscrapers题解翻译

题目翻译：

见http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1921

题解翻译：

这道题中的摩天大楼描述了被称作跳跃表（Skip List）的数据结构。跳跃表在某种意义上和AVL、红黑树相似，因为它支持O(logN)的插入，操作和查找（包括上下界查询），同时支持常数时间的在排序顺序中前后移动。跳跃表和任何树结构都不同，因为它有实用的，不需要线程锁的（所谓‘无锁’），线程安全的实现方式。无锁跳跃表被用作MemSQL中主要的存储数据结构，并且Bob使用的，穿过摩天大楼的算法是一种O(logN)的方法，它能让人们估算跳跃表的大小。因此，如果Bob最终得到的数值是n，则跳跃表真实大小的期望值就是n（因此如果输入文件的第一行是Bob，你就只需要读入第二行的数并输出它）。形式化的证明十分简单，我们把它留给读者。奇怪的是，逆命题并不成立。如果跳跃表的大小是n，那么估算算法的期望返回值比n要大。对于一个远大于2^h的n，估算值收敛于n-1+2^h，但这个问题同时还包含了n较小的数据。

让我们每次将解的层数增加1.当H=0时，期望的估算值自然是N。现在对于加上的每一层，我们都可以加上这一层溜索的期望花费，并同时减去它们下方溜索的期望花费。最终我们将得到总共的期望花费。

对于高度为H的某一层，让我们考虑左侧和右侧的一些塔，并计算它们之间存在一条溜索的可能性。令L是两座塔之间的距离。一条可能存在的，长度为L，高度为H的溜索的确存在，如果它两端的塔都足够地高（每个都有1/(2^H)的概率），并且中间的L-1座塔都较低（每个都有1-(1/(2^H))的概率）。因此这样一条溜索存在的概率是(1/(2^2H))*(1-(1/(2^H))^(L-1))。

现在，假设这样一条溜索存在，它下方溜索的期望数量是多少？它就是高度H-1的塔的数量加1。L-1座塔中的每一个都有1/(2^H-1)的概率高度为H-1（注意到它的高度至多是H-1）——运用条件概率公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)来计算这个。因此一个长度为L，高度为H的溜索下方溜索的期望数量是1+(L-1)/(2^H-1)。

对于每个长度L，在每一层都有N-L条长度为L的可能溜索。对于所有可能的溜索，我们把它出现的概率乘以它的花费，求和得到总的期望值。

因而最终答案就是：

事实上内层循环可以用矩阵乘法计算，运行时间为O(HlogN)。——虽然数据范围足够小，用矩阵乘法是高射炮打蚊子——O(H*N)就行了。

译者注1：

以下是对Bob情形的证明，即题解中“留给读者”的部分：

假设Bob即将走一条高度为h的溜索（此时他所在的大楼高度>=h），这条溜索的长度期望是多少？

此时Bob站在这条溜索的左端点，而未知的部分只有溜索越过的大楼和溜索的右端点。换句话说，这条溜索期望增加多少栋大楼？

容易发现，某栋大楼高度>=h的概率是1/(2^h)。即，在2^h栋楼中才期望出现一个高度>=h的楼。因而，这条高度为h的溜索的期望长度是2^h。

也就是说，一条花费2^h的溜索的期望长度是2^h。由于Bob的计数器一开始是1，所以很容易得出，大楼数的期望就是计数器最终的值n。

译者注2：

以下是对“高度为H-1的概率为1/(2^H-1)”的证明：

显然我们已经知道这栋楼的高度<H。因此我们实际要求的是P(高度为H-1 | 高度<H)（在高度<H的前提下高度为H-1的概率）。

根据条件概率公式，P(高度为H-1 | 高度<H) = P(高度为H-1且高度<H) / P(高度<H) = P(高度为H-1) / P(高度<H) = (1/(2^(H-1))) / (1-(1/(2^H))) = 1/(2^H-1)。

译者注3：

为什么只需要减去高度为H-1的溜索呢？因为对于这条高度为H的溜索，其两端大楼的高度都>=H，因而在上一个阶段中高度都>=H-1，因此在上一个阶段，这两栋楼之间只存在高度为H-1的溜索。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
char name[20];
int N,H;
int main(){
	scanf("%s",name);
	scanf("%d%d",&N,&H);
	if(name[0]=='B'){
		printf("%d\n",N);
		return 0;
	}
	double po=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=H;i++){
		po*=2;
		double t=1;
		for(int j=1;j<=N;j++){
			ans+=(N-j)/po/2*t*(po-j)/(po-1);
			t*=1-1/po;
		}
	}
	printf("%.10lf\n",ans+N);
	return 0;
}