编程之美----NIM(4)

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题目：两个玩家，只有一堆石头，两人一次拿石头，最后那光者为赢家。取石头的规则是：

            1、第一个玩家不能拿光所有的石头。

            2、第一次拿石头之后，每人每次最多只能拿掉对方前一次所拿石头的两倍。

      那么，这个游戏有没有必胜的算法？（提示：好像和Fibonacci数列有关。）

解答：

1. 根据题目后面的提示，当石头数N=F(n)——F(n)为 Fibonacci 数列，先手输；其余情况先手赢。（如果没有提示，我是想不出该结论的，因此我写的只是该结论的证明而已）
2. 还是用数学归纳法，明显当N=2,3，该结论成立（N=1，游戏玩不了）。
3. 现假设N=F(k),结论成立。先证明N=F(k)+i<F(k+1)，先手能赢。
4. 显然，i<F(k+1)-F(k)=F(k-1)，假如i<=F(k-2)，则先手直接取i颗石头，留下F(k)颗给后手，因为2*i<=2*F(k-2)<F(k-2)+F(k-1)=F(k)，所以后手无法一次性拿掉F(k)颗，又根据假设，该情况后手输，所以先手赢；
5. 假如F(k-2)<i<F(k-1)，则先手的策略是先取i-F(k-2)，然后再让后手取F(k-2)。其中，如果i-F(k-2)也是Fibonacci数，则i-F(k-2)最大为F(k-4)（读者可自己证明），先手完全可以一次性取完，因为2*F(k-4)<F(k-2)；如果i-F(k-2)不是 Fibonacci数，由前面假设可以得知最终也是先手取完，因为先手最终取的石头数目必定小于 i-F(k-2)的最大 Fibonacci数，即F(k-4)，因此不用担心后手能一次取完F(k-2)。
6. 证明N=F(k+1)，先手输。
7. 先手想不输，则不能将赢面留给后手，所以先手第一次至少拿F(k-1)，留给后手F(k)，可是根据规则，此时后手最多能拿2*F(k-1)颗石头，由于2*F(k-1)>F(k-1)+F(k-2)=F(k)，因此，后手可以一次性拿掉剩余的F(k)颗石头，因此当N=F(k+1)时，先手必输。
8. 证毕。