LeetCode--edit-distance

原创于 2018-01-23 20:50:47 发布 · 275 阅读

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本文详细介绍了如何使用动态规划解决编辑距离问题，包括插入、删除和替换字符三种操作，并提供了具体的代码实现。

题目描述

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

思路
用分治的思想解决比较简单，将复杂的问题分解成相似的子问题。

假设字符串 a, 共 m 位，从 a[1] 到 a[m]
字符串 b, 共 n 位，从 b[1] 到 b[n]
d[i][j] 表示字符串 a[1]-a[i] 转换为 b[1]-b[j] 的编辑距离。

那么有如下递归规律（a[i] 和 b[j] 分别是当前要计算编辑距离的子字符串 a 和 b 的最后一位）：

当 a[i] 等于 b[j] 时，d[i][j] = d[i-1][j-1], 比如 fxy -> fay 的编辑距离等于 fx -> fa 的编辑距离
当 a[i] 不等于 b[j] 时，d[i][j] 等于如下 3 项的最小值：
d[i-1][j] + 1（删除 a[i]（删除等价于插入操作，相当于插入b中插入a[i[）），比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fx -> fab 的编辑距离 + 1
d[i][j-1] + 1（删除 b[j]或者插入b[j])，比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxyb -> fab 的编辑距离 + 1 = fxy -> fa 的编辑距离 + 1
d[i-1][j-1] + 1（将a[i]b[j]同时删除（等价于交换操作）），比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxb -> fab 的编辑距离 + 1 = fx -> fa 的编辑距离 + 1
递归边界：

a[i][0] = i, b 字符串为空，表示将 a[1]-a[i] 全部删除，所以编辑距离为 i
a[0][j] = j, a 字符串为空，表示 a 插入 b[1]-b[j]，所以编辑距离为 j
非动态规划的递归代码
按照上面的思路将代码写下来

int minDistance(string word1, string word2) {
        if(word1 == word2) return 0;
         
        int m = word1.size();
        int n = word2.size();
         
        if(word1 == "")
        {
            return n;
        }
         
        if(word2 == "")
        {
            return m;
        }
         
        if(word1[0] == word2[0])
        {
            return minDistance(word1.substr(1), word2.substr(1));
        }
        else
        {
            return min(1 + minDistance(word1, word2.substr(1)), min(1 + minDistance(word1.substr(1), word2), 1 + minDistance(word1.substr(1), word2.substr(1))));
        }
 
    }

这道题让求从一个字符串转变到另一个字符串需要的变换步骤，共有三种变换方式，插入一个字符，删除一个字符，和替换一个字符。根据以往的经验，对于字符串相关的题目十有八九都是用动态规划Dynamic Programming来解，这道题也不例外。这道题我们需要维护一个二维的数组dp，其中dp[i][j]表示从word1的前i个字符转换到word2的前j个字符所需要的步骤。那我们可以先给这个二维数组dp的第一行第一列赋值，这个很简单，因为第一行和第一列对应的总有一个字符串是空串，于是转换步骤完全是另一个字符串的长度。跟以往的DP题目类似，难点还是在于找出递推式，我们可以举个例子来看，比如word1是“bbc"，word2是”abcd“，那么我们可以得到dp数组如下：

  Ø a b c d
Ø 0 1 2 3 4
b 1 1 1 2 3
b 2 2 1 2 3
c 3 3 2 1 2

我们通过观察可以发现，当word1[i] == word2[j]时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]，其他情况时，dp[i][j]是其左，左上，上的三个值中的最小值加1，那么可以得到递推式为：

dp[i][j] = / dp[i - 1][j - 1] if word1[i - 1] == word2[j - 1]

\ min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1 else

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n1 = word1.size(), n2 = word2.size();
        int dp[n1 + 1][n2 + 1];
        for (int i = 0; i <= n1; ++i) dp[i][0] = i;
        for (int i = 0; i <= n2; ++i) dp[0][i] = i;
        for (int i = 1; i <= n1; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n2; ++j) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n1][n2];
    }
};

参考：http://blog.youkuaiyun.com/pipisorry/article/details/46383947

https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4344107.html