组合数学引论 第一章 答案 1-5

1.任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等.

 解：这个证明的前提是“认识”是一种相互关系，即“A认识B，则B认识A；A不认识B，则B不认识A”
        记一组的总人数为n
         则任何一个人“认识的人数”可能为0、1、2……、n-1（除了自己）
        共有n种可能。

       用反证法：
      假设不存在两个人，在组内认识的人一样多
      那么必须有一个认识0个人的、一个认识1个人的……一个认识n-1个人的
      记认识0个人的为A，认识n-1个人的为B
      因为A一个人也不认识，因此A不认识B
      B认识除了自己之外的所有人，因此B认识A，矛盾！

      因此任何一组人中都存在两个人，他们在组内认识的人一样多

2.任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数.

 解：记这11个整数为a1,a2,a3,....a11.这11个整数模除10后的余数记为r1,r2,r3,...r11.则有0<=r1,r2,...r11<=9.

        由鸽巢原理知，必存在1<=i,j<=11, i!=j.使得ri = rj. 即ai与aj的差是10的倍数。

        命题得证。

3.任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数。

 解：思路与2类似。

4.在1.1节例4中，证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,...,21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋？

 解：<1>令b1,b2,...,b77分别为这11周期间他每天下棋的次数，并作部分和：

          a1 = b1;

          a2 = b1+b2;

          .....,

          a77 = b1+b2+...+b77.

          根据题意，有  bi >=1 (1<=i<=77)   且有 1 <=a1<a2<a3<...<a77<=12*11=132

          考虑数列      a1,a2,a3,....a77,a1+k,a2+k,.....,a77+k              (1)

          它们的值都在 1~132+k之间， 又1<=k<=21

          故 它们的值在1~132+21之间，

         又数列有154项，故由鸽巢原理知：

          数列(1)之间必有2项相等，即存在1<=i<j<=77,使得aj = ai +k (a1,a2,a3...a77是递增的，故i,j不可能都出于其中)

         => k=aj -ai = b(i+1) + b(i+2) + b(i+3) +...+bj

          故从i+1天起到第j天，他可以恰好下k盘棋。

         <2>当k=22时，序列a1,a2,...a77,a1+22,a2+22,....,a77+22.这154项值在1~154之间。

               若这154项有两项相等时，则根据<1>可以，可以找到i,j,使得棋手在第i+1天到第j天之间恰好下22盘棋。

               若这154项都不相等，有23<=a1+22<a2+22<......<a77+22,故这154项中只有a1,a2,...a22分别为1,2,....22才可以。

              故他可以从第1天到第22天连续共下22盘棋。

5.将1.1节例5推广成从1,2,3....,2n中任选n+1个数的问题。

     解：思路与例5类似。