完全背包（包括二维，一维）

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#动态规划 #完全背包

完全背包

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64-bit integer IO format: Java class name:

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直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时，求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包，输出NO

Input

第一行： N 表示有多少组测试数据（N<7）。
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M，V。 M表示物品种类的数目，V表示背包的总容量。(0<M<=2000，0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c，w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000，0<w<100000)

Output

对应每组测试数据输出结果（如果能恰好装满背包，输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。如果不能恰好装满背包，输出NO）

Sample Input

Sample Output

NO
1

多重背包与01背包的不同就在于01背包只能选一个，多重背包可以多次选

那么，做题原则，把不会的转化为会的

既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

下面上二维代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[2005][50005],c[2005],w[2005];
int max(int a,int b)
{
    if(a>b)
        return a;
    else
        return b;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int m,v;
        scanf("%d%d",&m,&v);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
        }
        memset(dp,-9999999,sizeof(dp));
        dp[1][0]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=c[i];j<=v;j+=c[i])
            {
                for(int k=1;k<=j/c[i];k++)
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
                }
            }
        }
       if(dp[m][v]>0)
        {
            printf("%d\n",dp[m][v]);
        }
        if(dp[m][v]<=0)
        {
            printf("NO\n");
        }
    }
}

这道题有个注意点，如果背包没装满，那么输出NO 那么如何判断背包装满没？

我们把数组dp的数全部赋值为-999999（无限小）并将dp[1][0]的值赋值为0 就是判断背包是否装满

如果背包没装满那么这个动规就不是从dp[1][0] 开始往后递推的，因为我们可以说是从后往前推的，后面的值利用前面的值，如果递推不到dp[1][0],那么说明背包不满，如递推到do[1][1]，背包只用了V-1，还有一格没用，那么值就是无限小

反之背包满了值一定大于零

二维到此结束

下面上一维的

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[50005],c[100005],w[100005];
int max(int a,int b)
{
    if(a>b)
        return a;
    else
    {
        return b;
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int m,v;
        memset(dp,-999999,sizeof(dp));


        scanf("%d%d",&m,&v);
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
        }
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            dp[0]=0;
            for(int j=c[i]; j<=v; j++)  //  注意，此处是01背吧与完全背包唯一的区别，前者倒序，后者正序 
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
            }
        }
        if(dp[v]>0)
        {
            printf("%d\n",dp[v]);
        }
        else
        {
            printf("NO\n");
        }
    }
}

一维的非常简单而且AC

二维由于是for了3次WA

要学习高级的动规，一定要掌握一维的

接下来解析一下为什么01用倒序，完全背包用正序

其实原因很简单

01背包要求只拿一次 dp的话其实一直是用前面已经有的值递推后面的值

倒序的话一定只拿了一件如一件物品体积是1 当推dp[10] 时用到了dp[9] 毋庸置疑

递推dp[8]时用到了dp[7] 如此类推那么计算dp[10]时我们只用了dp[9] 而且只推了一次（推一次后这递推就结束了）

相当于只拿了一件

完全背包要求拿多次

正序的话可能拿了很多件如一物体体积是1 当递推dp【2】时用了dp【1】，递推dp【3】时用了dp【2】

因为是正着推的也可以看作为有dp【1】时推出dp【2】，然后没停下，这个物品又拿了一件推出dp【3】