Machine Learning In Action-Chapter8 线性回归

Chapter8 - regression

线性回归

找到一个回归系数向量w，用y = xw来计算预测结果，问题就是如何运用现有的数据集找到最合适的w，一个常用的方法就是找出误差最小的w，如果简单地将误差加减，则正值和负值会抵消，因此选用平方误差。

即

$$\sum_{i=1}^m(y_i-x_i^Tw)^2$$
用矩阵替换掉求和符号即为
$$(Y-Xw)^T(Y-Xw)$$
对w求导并令其为0，得到
$$2X(Y-Xw)=0 即Y=Xw$$
两边同时乘以 $(X^TX)^{-1}X^T$ ，得到 $w=(X^TX)^{-1}X^Ty$

代码实现

def standRegres(xArr,yArr):
    xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
    xTx = xMat.T*xMat
    print xMat.T.shape,xMat.shape
    print xTx.shape
    # 计算行列式，行列式为0，则逆矩阵不存在
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print "This matrix is singular, cannot do inverse"
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

局部加权线性回归

http://blog.youkuaiyun.com/hujingshuang/article/details/46274723

目前计算x的预测值，用的是全局的数据，且每个数据的权值一样，但实际是与x越接近的数据参考价值越大，所以有了局部加权，体现在误差公式上就是对训练集中的每个点都乘上一个权值系数，然后求和。权值系数用一个m*m的矩阵来表示，对角线上不为0.

误差公式为

$$\sum_1^mw(i,i)(y-\theta^Tx)^2$$

用矩阵表示为

$$J(\theta)=[W(Y-X\theta)]^T(Y-X\theta)=(Y-X\theta)^TW^T(Y-X\theta) \\=(Y^T-\theta^TX^T)W^T(Y-X\theta)\\=Y^TW^TY-\theta^TX^TW^TY-Y^TW^TX\theta+\theta^TX^TW^TX\theta$$
对 $\theta$求偏导并令其为0：
$$-2X^TW^TY+2X^TW^TX\theta=0\\ X^TWY=X^TWX\theta \\ \theta = (X^TWX)^{-1}X^TWY$$
流程：

1.计算每个训练点的m*m权值矩阵（只有对角线上不为0），常用的权值计算公式有高斯核，离点越近的点权值越大，高斯核如下：

$$w(i,i)=exp(\frac{|x^{(i)}-x|}{-2k^2})$$
2.对每个需要预测的点都用上述的求 $\theta$ 公式计算出权值向量，然后与预测的点的特征向量相乘即可得到预测值，这样的一个缺点就是对每个预测点都要用到全部数据集来计算一次。

# 对单个点的预测
def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
    xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
    m = shape(xMat)[0]
    weights = mat(eye((m)))
    for j in range(m):
        diffMat = testPoint - xMat[j,:]
        weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
    xTx = xMat.T * (weights * xMat)
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print "This matrix is singular, cannot do inverse"
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
    return testPoint * ws
# 计算整个训练集每个点的预测值，用于作图
def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):
    m = shape(testArr)[0]
    yHat = zeros(m)
    for i in range(m):
        yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
    return yHat

最小二乘法( OLS,ordinary least square)有解的条件是X列满秩。

https://www.zhihu.com/question/28221429

(其实有时候会看到是不满足列满秩或者特征的相关比较强时，不适合用最小二乘法，不满足列满秩就是逆矩阵不存在，那为什么相关性较强也不适用呢？相关性较强意味着$X^TX$很小，甚至趋向于0，那么逆矩阵就会很大，那么得到的权值就会很不稳定。简单地可以理解为相关性强时，数据就不能提供足够的信息)

为什么？

假设X的大小为m*n

$$\theta = (X^TX)^{-1}X^TY$$
有解也就是X^TX有逆矩阵，也就是X^TX满秩，X^TX的大小为n*n，如果满秩的话就是秩为n。

有以下定理：

• 设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵A^TA为正定矩阵.

• 正定矩阵为什么可逆：正定阵的特征值全大于0，而行列式等于特征值的乘积，因此行列式大于0，可逆。

• 行列式不为0，矩阵可逆

• 矩阵可逆的充要条件

  n阶方阵A可逆
  <=> A非奇异
  <=> |A|≠0
  <=> A可表示成初等矩阵的乘积
  <=> A等价于n阶单位矩阵
  <=> r(A) = n
  <=> A的列(行)向量组线性无关
  <=> 齐次线性方程组AX=0 仅有零解
  <=> 非 齐次线性方程组AX=b 有唯一解
  <=> 任一n维向量可由A的列(或行)向量组线性表示
  <=> A的特征值都不为0

• 矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A).

• 行(列)满秩矩阵的一些性质及应用
  
  

岭回归

用最小二乘法最误差有什么问题？在计算$(X^TX)^{-1}$的时候，可能不存在，比如特征数大于样例数，即列数大于行数，是不可能行满秩的，也就是上式不可逆。

• 因此从计算的角度可以加上一个$\lambda I$ 使$w=(X^TX+\lambda I)^{-1}X^TY$ 可以计算。
• 上面是从运算的角度，有没有更自然的理解方式呢？

知乎上有个回答介绍了三种理解方式

1.从上述计算的角度回答
2. 从优化问题的角度。

误差的公式为$\sum_{i=1}^m (y_i-x_i^Tw)^2+\lambda\sum_{j=1}^pw_j^2$ ，与普通的最小二乘法计算的误差不同之处在于后面多了平方和。用矩阵表示为$(Y-Xw)^2+\lambda w^2$，对w求导并令为0得：$-2(X^T(Y-Xw))+2\lambda w=0$，求得$w=(X^TX+\lambda I)^{-1}X^TY$.

通过确定$\lambda$的值可以使得在方差和偏差之间达到平衡：随着$\lambda$的增大，模型方差减小而偏差增大。

方差指的是模型之间的差异，而偏差指的是模型预测值和数据之间的差异。我们需要找到方差和偏差的折中。方差，是形容数据分散程度的，算是“无监督的”，客观的指标，偏差，形容数据跟我们期望的中心差得有多远，算是“有监督的”，有人的知识参与的指标。

3.从多变量回归的变量选择来说，普通的多元线性回归要做的是变量的剔除和筛选，而岭回归是一种shrinkage的方法，就是收缩。

岭回归的回归参数有先验分布，而最小二乘对参数没有限制。对参数进行先验分布限制，会使得得到的回归参数取值不会很病态.

求w的代码实现：

def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):
    xTx = xMat.T*xMat
    denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam
    if linalg.det(denom) == 0.0:
        print "This matrix is singular, cannot do inverse"
        return
    ws = denom.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

#### 在预处理数据的时候要对数据集进行标准化
def ridgeTest(xArr,yArr):
    xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
    yMean = mean(yMat,0)
    yMat = yMat - yMean
    xMeans = mean(xMat,0) # 均值，对每一列求均值
    xVar = var(xMat,0) # 方差
    xMat = (xMat - xMeans)/xVar # 随机变量标准化
    numTestPts = 30
    wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))
    for i in range(numTestPts):
        ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))
        wMat[i,:]=ws.T
    return wMat

ridgeTest求了30个不同$\lambda$时的权值向量，每个权值向量有八个值，对应8个特征的重要性，做出的图展现的是八条曲线，每条曲线表明当前特征随lambda的变化，权值的变化。

Lasso

lasso算法在普通最小二乘法的基础上增加了一个条件，完整写的话就是

$$\sum_{i=1}^m(y_i-x_i^Tw)^2 \\ s.t. \sum_{j=1}^p|w_j| \le \lambda$$
岭回归可以改写成
$$\sum_{i=1}^m(y_i-x_i^Tw)^2 \\ s.t. \sum_{j=1}^pw_j^2 \le \lambda$$
可以看出岭回归与lasso只是一个是平方和受限，一个是绝对值和受限。

不同之处就在于当lambda足够小时，有些权值系数会被迫减到0，有些特征直接被忽略掉，因此能更好的展示出数据的特点。

但求解上述式子的解时，需要二次规划，计算复杂，用一种更简单的算法得到差不多的效果。

前向逐步回归

前向逐步算法是一种贪心算法，每一步都尽可能较小误差，一开始所有的权重设为1，每一步的决策时对某个权重增加或减小一个很小的值。

流程：

数据标准化，使其分布满足0均值和单位方差
在每轮迭代过程中：
    设置当前最小误差lowestError为正无穷
    对每个特征：
        增大或缩小：
            改变一个系数得到一个新的w
            计算新w下的误差
            如果误差Error小于当前最小误差lowestError：设置Wbest等于当前的w
        将w设置为新的Wbest

python实现：

def stageWise(xArr,yArr,eps=0.01,numIt=100):
    xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T
    yMean = mean(yMat,0)
    yMat = yMat - yMean
    xMat = regularize(xMat)
    m,n=shape(xMat)
    ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax = ws.copy()
    returnMat = zeros((numIt,n))
    for i in range(numIt):
        #print ws.T
        lowestError = inf;
        for j in range(n):
            for sign in [-1,1]:
                wsTest = ws.copy()
                wsTest[j] += eps*sign
                yTest = xMat*wsTest
                rssE = rssError(yMat.A,yTest.A)
                if rssE < lowestError:
                    lowestError = rssE
                    wsMax = wsTest
        ws = wsMax.copy()
        returnMat[i,:]=ws.T
    return returnMat