CF--1624C.Division by Two and Permutation

这篇博客探讨了一种数组操作,通过将元素除以2并向下取整来转化为排列问题。给定一个包含正整数的数组,目标是通过有限次操作将其变为1到n的排列。博客中给出了具体的例子和解决思路,并展示了一个C++实现的解决方案,用于判断能否通过这些操作得到排列。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

You are given an array aa consisting of nn positive integers. You can perform operations on it.

In one operation you can replace any element of the array a_iai​ with \lfloor \frac{a_i}{2} \rfloor⌊2ai​​⌋, that is, by an integer part of dividing a_iai​ by 22 (rounding down).

See if you can apply the operation some number of times (possible 00) to make the array aa become a permutation of numbers from 11 to nn —that is, so that it contains all numbers from 11 to nn, each exactly once.

For example, if a = [1, 8, 25, 2]a=[1,8,25,2], n = 4n=4, then the answer is yes. You could do the following:

  1. Replace 88 with \lfloor \frac{8}{2} \rfloor = 4⌊28​⌋=4, then a = [1, 4, 25, 2]a=[1,4,25,2].
  2. Replace 2525 with \lfloor \frac{25}{2} \rfloor = 12⌊225​⌋=12, then a = [1, 4, 12, 2]a=[1,4,12,2].
  3. Replace 1212 with \lfloor \frac{12}{2} \rfloor = 6⌊212​⌋=6, then a = [1, 4, 6, 2]a=[1,4,6,2].
  4. Replace 66 with \lfloor \frac{6}{2} \rfloor = 3⌊26​⌋=3, then a = [1, 4, 3, 2]a=[1,4,3,2].

Input

The first line of input data contains an integer tt (1 \le t \le 10^41≤t≤104) —the number of test cases.

Each test case contains exactly two lines. The first one contains an integer nn (1 \le n \le 501≤n≤50), the second one contains integers a_1, a_2, \dots, a_na1​,a2​,…,an​ (1 \le a_i \le 10^91≤ai​≤109).

Output

For each test case, output on a separate line:

  • YES if you can make the array aa become a permutation of numbers from 11 to nn,
  • NO otherwise.

You can output YES and NO in any case (for example, strings yEs, yes, Yes and YES will be recognized as a positive response).

Sample 1

InputcopyOutputcopy
6
4
1 8 25 2
2
1 1
9
9 8 3 4 2 7 1 5 6
3
8 2 1
4
24 7 16 7
5
22 6 22 4 22
YES
NO
YES
NO
NO
YES

Note

The first test case is explained in the text of the problem statement.

In the second test case, it is not possible to get a permutation.

解决了我的疑惑:能放却不放,先去补更小的空位这个做法。感谢Codeforces 1624C Division by Two and Permutation_机械之忍的博客-优快云博客

1 8 25 2

--------

1:1

8:8 4 2 1

25: 25 12 6 3 1

YES

22 6 22 4 22

-------

22:22 11 5 2 1

6:6 3 1

22:22 11 5 2 1

4: 4 2 1

22:22 11 5 2 1

YES

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool book[60];

int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		int n;
		cin>>n;
		int cnt=0;
		memset(book,false,sizeof(book));
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x;
			cin>>x;
			while(x>n)x/=2;
			
			while(x)
			{
				if(!book[x])
				{
					book[x]=true;
					cnt++;
					break;
				}
				x/=2;
			} 
		}
		if(cnt==n)
		cout<<"YES"<<endl;
		else
		cout<<"NO"<<endl;
		
	}
	return 0;
}

with_progress({ + # 初始化进度条 + p <- progressor(along = 1:2) + + # 执行100次置换 + placebo_dist <- manual_placebo(data, n_permute = 2) + }) One outcome and one treatment time found. Running single_augsynth. One outcome and one treatment time found. Running single_augsynth. Warning message: In handle_progression(condition, debug = debug) : Received a progression ‘update’ request (amount=1; msg=‘character(0)’) but is not listening to this progressor. This can happen when code signals more progress updates than it configured the progressor to do. When the progressor completes all steps, it shuts down resulting in the global progression handler to no longer listen to it. To troubleshoot this, try with progressr::handlers("debug") > # 清理内存碎片 > gc() used (Mb) gc trigger (Mb) max used (Mb) Ncells 2983096 159.4 5026872 268.5 5026872 268.5 Vcells 10326783 78.8 36845423 281.2 112127404 855.5 > # 5. 结果查看 ------------------------------------------------------------------ > # 查看前10次置换结果 > print(head(placebo_dist, 10)) Time Estimate lower_bound upper_bound p_val permutation pseudo_unit 2016-04-01...1 2016-04-01 -0.18368508 NA NA NA 1 1 2016-04-02...2 2016-04-02 -0.31366935 NA NA NA 1 1 2016-04-03...3 2016-04-03 -0.49916072 NA NA NA 1 1 2016-04-04...4 2016-04-04 0.30554081 NA NA NA 1 1 2016-04-05...5 2016-04-05 -0.33573735 NA NA NA 1 1 2016-04-06...6 2016-04-06 0.07909620 NA NA NA 1 1 2016-04-07...7 2016-04-07 -0.21757939 NA NA NA 1 1 2016-04-08...8 2016-04-08 -0.45763920 NA NA NA 1 1 2016-04-09...9 2016-04-09 0.07273611 NA NA NA 1 1 2016-04-10...10 2016-04-10 0.17557989 NA NA NA 1 1 >
03-25
<think>好的,我现在需要帮助用户理解他们提供的R代码和输出结果。首先,用户展示了一个使用with_progress和progressor函数的代码块,用于初始化进度条,然后执行manual_placebo函数进行置换检验。接着,用户遇到了一个警告信息,关于进度条的更新请求不被监听。然后他们清理了内存,并查看了置换结果的前10行,发现所有permutation列都是1,p_val都是NA,这可能有问题。 首先,我需要分析代码的结构。with_progress和progressor属于progressr包,用于显示进度条。用户设置进度条沿着1:2循环,即预期两步。但manual_placebo的n_permute参数设为2,可能意味着两次置换检验。然而,置换检验通常需要大量重复(比如1000次),但用户只做了2次,这可能导致p值无法计算,所以p_val为NA。另外,每次置换可能生成多个时间点的估计值,所以输出的行数较多,但permutation列可能都是1和2,但用户只看到1,这可能是因为只显示前10行,而两次置换可能生成多个时间点的数据,所以前10行可能都属于第一次置换。 接下来,警告信息指出进度条更新请求不被监听,这可能是因为进度条设置的步数与实际执行的步数不一致。例如,progressor(along = 1:2)预期两步,但实际代码可能在每次置换中多次调用p(),导致超额更新。需要检查manual_placebo函数内部是否在每次置换中多次更新进度条,而用户只预期两次更新。 然后,用户执行gc()清理内存,输出显示内存使用情况,这可能是因为处理大数据时内存占用较高,需要释放。 查看置换结果,发现所有p_val都是NA,这可能是因为置换次数太少,无法计算有效的p值。通常置换检验需要足够多的次数(比如1000次)才能生成有意义的p值。此外,permutation列显示为1,可能因为只完成了第一次置换,或者输出截断显示前10行都属于第一次置换的结果。 总结用户的问题可能在于:1. 进度条设置不正确导致警告;2. 置换次数太少导致p值缺失;3. 结果解释的问题。 在回答时,我需要逐步解释代码的作用,分析警告原因,指出置换次数不足的问题,并建议增加n_permute值。同时,解释输出结果中各列的含义,并指导用户如何正确设置进度条和置换次数,以及如何正确解读结果。</think>我将分步解释这段代码的运行机制和输出结果: $with_progress()$ 是progressr包中用于管理进度条的容器函数,其核心流程如下: 1. **进度条初始化** $progressor(along = 1:2)$ 创建2步的进度条,这里的参数`along = 1:2`表示将进行2个主要步骤的操作。但实际运行中出现了进度条警告,说明存在步数不匹配问题。 2. **置换检验执行** $manual_placebo()$ 通过置换检验生成伪处理效应,关键参数: - $data$:包含处理组和对照组的合成控制数据 - $n\_permute = 2$:仅执行2次置换(通常需要1000+次才具有统计意义) 3. **警告分析** `Warning message`显示进度条被过度调用。可能原因是: - 每个置换过程内部包含多个子步骤(如时间点计算) - 实际步骤数 > 初始设置的2步 - 建议调试:使用$progressr::handlers("debug")$追踪进度调用 4. **内存管理** $gc()$ 输出显示: ```text Vcells 使用 78.8MB,峰值达 855.5MB ``` 反映置换检验会产生大量中间数据,需注意内存容量 5. **结果解读** 输出表格关键列说明: ```text | 列名 | 说明 | 当前异常值原因 | |--------------|-----------------------------|-----------------------| | Estimate | 处理效应估计值 | 正常 | | p_val | NA | 置换次数过少(n_permute=2) | | permutation | 全部为1 | 应显示1-2次置换编号 | ``` **改进建议**: 1. 增加置换次数: ```r placebo_dist <- manual_placebo(data, n_permute = 1000) # 推荐最小值 ``` 2. 修正进度条: ```r p <- progressor(steps = n_permute * time_points) # 根据实际计算步骤设置 ``` 3. 结果验证: ```r summary(placebo_dist) # 检查p值分布 plot(placebo_dist) # 可视化伪效应分布 ``` 这个流程主要用于验证合成控制法的稳健性——通过比较真实处理效应与伪效应分布,判断处理效果的显著性。当前输出的p值缺失表明需要更多置换计算才能获得可靠推断。
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