Acwing--91. 最短Hamilton路径(状态压缩dp)

给定一张 nn 个点的带权无向图，点从 0∼n−10∼n−1 标号，求起点 00 到终点 n−1n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 00 到 n−1n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 nn。

接下来 nn 行每行 nn 个整数，其中第 ii 行第 jj 个整数表示点 ii 到 jj 的距离（记为 a[i,j]a[i,j]）。

对于任意的 x,y,zx,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

1≤n≤201≤n≤20
0≤a[i,j]≤1070≤a[i,j]≤107

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

y总讲的太好了！！🥳🥳tql 

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如果暴力（dfs）搜索所有的路径，时间复杂度10^18左右，肯定会超时的。那就优化一下，因为dfs过程中，我们care的量就只有   1.终点    2.哪些点走过。

所以直接用二进制来表示哪些点走过。所以f[i][j]：状态为i的情况下终点是j的最短路径。

例如：  走过0  2 3 ：1 1 0 1 = 13   

用这种方法时间复杂度优化到10^6左右。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20,M=1<<20;//m储存所有的二进制状态

int n;
int w[N][N];//储存二维矩阵，边长
int f[M][N];//状态为i的情况下到达j点的最短路径



int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
       for(int j=0;j<n;j++)
          cin>>w[i][j];
          
          
    memset(f,0x3f3f3f,sizeof(f));//初始化最短路径为最大值
    f[1][0]=0;//在0点的时候
    
    
    for(int i=0;i<1<<n;i++)//对于n个点，每个点都是两种情况，选和不选
       for(int j=0;j<n;j++)
          if(i>>j&1)//i的状态里包含j这个点
             for(int k=0;k<n;k++)
                if(i>>k&1)//i的状态里包含k这个点
                   f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);
    
    
    
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
             
    return 0;
}