关于numpy中cov(x)与cover(x,y)的一些理解

1. np.cov(x)

x=[1,2,3,4]
np.cov(x)

输出为 array(1.6666666666666665)，一开始我以为当x为一个行向量时，cov(x)计算的就是x的方差。但是通过观察发现

np.var(x)*4     #output:5
np.cov(x)*3     #output:5

np.cov(x)这种情况计算的是x方差的无偏估计，即$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x-\hat{x}})}{n-1}$，而np.var(x)计算的则是$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x-\hat{x}})}{n}$

接着我们再假设x为一个4*3的矩阵

X=np.array([[1 ,5 ,6] ,[4 ,3 ,9 ],[ 4 ,2 ,9],[ 4 ,7 ,2]])
np.cov(x)

首先不同于matlab。在numpy中，将x的每一列视作一个独立的变量，因此这里一共有3个4维的变量，因此将会输出一个4*4的协方差矩阵

其中对角线元素是每个维度的方差，非对角线上的元素则是不同维度间的协方差。

2. np.cov(x,y)

在学习的过程中还有一点比较困惑的是np.cov(x)和np.cov(x,y)的区别，以下用代码来进行说明：

X=np.array([[1 ,5 ,6] ,[4 ,3 ,9 ],[ 4 ,2 ,9],[ 4 ,7 ,2]])
x=X[0:2]
y=X[2:4]
print(np.cov(X))
print(np.cov(x,y))

输出为

可以看出两者的输出是相同的。因此所谓的np.cov(X)其实就是把np.cov(x,y)中两个变量所有的维度纵向拼接在一起作为X参与运算。