4-13 复杂度分析_self -attention 复杂度-优快云博客

本文介绍了大O时间复杂度的概念，它用于描述代码执行时间随数据规模增长的趋势。以对数时间复杂度为例，通过分析一段代码的循环执行次数，得出其时间复杂度为O(log2n)。即使底数不同，如改为以3为底，时间复杂度仍可简化为O(logn)。此外，文章提到了O(nlogn)的时间复杂度，例如在归并排序和快速排序中的应用。通过对代码的修改和对数性质的解释，帮助读者深入理解时间复杂度的计算和表示方法。

这节讲时间复杂度的计算

简单的说就是计算代码中执行次数最多的部分所用时间。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度

别的都好算，这里就记一下对数的时间复杂度吧：


 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

根据复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：所以，只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？


 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
为什么？
因为：
对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果理解了前面的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。