电路分析里的高等数学

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电路分析里的高等数学

一元二次方程：

一元指的是只有一个未知说，二次指的是未知数的最高次是二次。总结下来的形式就是：$a{x}^2+bx+c=0$。该方程的解是：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
由上面的公式可以看到，该方程是有两个根，但是当$b^2-4ac$等于0时，前面的±号也就没了意义，此时实际上只有一个跟，当$b^2-4ac$小于0时，会发生什么呢？这是要引入复数跟虚数的概念（下面的小标题）。我们看到，当$b^2-4ac$小于0时会有两个复数解。

复数与虚数：

虚数 j 有一个特点：$j^2=-1$,复数就是实数与虚数的组合：$z=a+bj$。了解虚数及复数的概念对后面的论述有帮助。

二阶常系数微分方程：

二阶常系数微分方程的形式：$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=f(x)$。
当$f(x)=0$时，我们称该方程为二阶常系数齐次微分方程。下面解析一下二阶常系数微分方程的解法。
首先导出齐次微分方程$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=0$的特征方程：$r^2+pr+q=0$，也就是上面的一元二次方程。求出特征方程的跟即可得出微分方程的通解，要想得到解，还需要两个初始条件,例如：$y^{{}^{\prime }}(0)=5$
$y(0)=6$

方程$r^2+pr+q=0$的根	方程$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=0$ 的通解
$r_1̸=r_2$	$y=C_1{e}^{r_1\ast x}+C_2{e}^{r_2\ast x}$
$r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{r\ast x}$
一对共轭副根$r_1=a+bj$ $r_2=a-bj$	$y=e^{a\ast x}(C_{1}cosbx+C_{2}sinbx)$

举例假如有方程：$y^{{}^{\prime \prime }}-5y^{{}^{\prime }}+6y=0$ 特征方程：$r^2-5r+6=0$解得：$r_1=2$$r_2=3$那么微分方程的通解就是：$$y=C_1{e}^{2\ast x}+C_2{e}^{3\ast x}$$
如果此时要求出解，换需要知道y(0)的值以及y’(0)的值。
假设：
$y(0)=3$且$y^{\prime }(0)=8$
则：C1=1,C2=2。解就是：
$$y=e^{2\ast x}+2e^{3\ast x}$$

电路中的应用

我们先来看一下《电路》第5版教材里的一个例题：


这个题的解其实就用到了微分方程的知识：
上面电路的数学模型推导如下：

怎么样？上面的方程是不是很熟悉，按理说这个方程属于非齐次方程，但是要求其解，还得先求其对应齐次方程的特征方程：$$r^2+200r+20000=0$$
求得解为：$$r_1=-100+100j$$ $$r_2=-100-100j$$
对应微分方程的通解为：$$i_{(t)}=e^{-100\ast t}(C_{1}cos100t+C_{2}sin100t)$$
特解要看0是不是特征方程的根，上面的例子明显不是，那么其特解：
$$i_{(t)}=A$$
将$y=A$带入微分方程:

得：20000A=20000。A=1
那么特解为：$$i_{(t)}=1$$
非齐次微分方程的解等于特解加对应齐次方程的解：$$i_{(t)}=e^{-100\ast t}(C_{1}cos100t+C_{2}sin100t)+1$$
将初始条件：$$i_{(0)}=2$$$$i_{(0)}^{\prime }=u_c(0)=0$$
带入解得：$$C_1=1$$$$C_2=1$$
最后得出解：
$$i_{(t)}=e^{-100\ast t}(cos100t+sin100t)+1$$

参考文献：《电路》第5版 原著：邱关源 修订：罗先觉