携带研究材料-卡玛（完全背包理论基础）

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完全背包与0-1背包的区别在于，每种物品有无限件，因此完全背包使用 二维 dp 数组 的初始化和递推公式与0-1背包存在一定的区别。区别如下：

• 初始化，0-1背包由于每一件物品只有一件，因此初始化时，当 j > weight[0]；dp[0][j] = value[0]
  但是完全背包每件物品存在无限件，那么在初始化时，dp[0][j]，表示只有一件物品 0 可取，装满 j 空间背包的最大价值，所以初始化为：当 j > weight[0]；dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; 这样才能体现出重复选取的条件
• 递推公式，0-1背包的递推公式为 当 j >= weight[i]， dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]; 否则 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 每次遍历 dp[i][j] 时，都只和上一层有关，而和本层无关。
  完全背包的每件物品有无限件，此时递推时，同一件物品时能够重复放入背包的，因此 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] 处，应当修改为 dp[i][j - weight[i]] + value[i]。
• 遍历顺序，根据递推公式，dp[i][j]受到数组 左侧 和 上方 元素，因此物品遍历和背包容量遍历都是从前往后遍历。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int N,V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> weight(N);
    vector<int> value(N);
    for(int i = 0; i < N; i++){
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    
    vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(V + 1, 0));
    for(int j = weight[0]; j <= V; j++){
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
    }
    for(int i = 1; i < N; i++){
        for(int j = 1; j <= V; j++){
            if(j >= weight[i]){
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
            }else{
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    cout << dp[N - 1][V] << endl;
    
    return 0;
}

当使用滚动数组来进行优化时，与0-1背包问题的区别在于 内层嵌套循环遍历不再是从后往前的顺序，而是从前往后的顺序，这代表了每个物品可以重复选取。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int N,V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> weight(N);
    vector<int> value(N);
    for(int i = 0; i < N; i++){
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    
    vector<int> dp(V + 1, 0);

    for(int i = 0; i < N; i++){
        for(int j = weight[i]; j <= V; j++){
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[V] << endl;
    
    return 0;
}

同样的先遍历背包容量，再遍历物品也是可以的：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int N,V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> weight(N);
    vector<int> value(N);
    for(int i = 0; i < N; i++){
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    
    vector<int> dp(V + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= V; j++){
        for(int i = 0; i < N; i++){
            if(j >= weight[i]){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[V] << endl;
    
    return 0;
}