【2012东莞市选】时间流逝（flow）——概率题

【2012东莞市选】时间流逝（flow）

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Description
生活可以很简单。可以探索水底世界的神秘，也可以去发现奇特新生物，亦或踏上一段新生的旅程。在必须要迎接挑战或跟周围的生物进行生存争夺之前，享受自由的飞翔。此时你会觉得生活是如此美好。
像蛇喜欢吃浮游生物一样（哦，我好像忘记告诉你这个常识），每天，你可以吃一些你周围的基础生物，然后会在你的尾巴上得到一个能量圈。你将会有好多种不同的能量圈，每一个都会被赋予一个能量。你可以拥有多个同种的能量圈，但是对于新得到的能量圈，它的能量不能大于你已拥有的任何一个能量圈。在前面规则的前提下，获得新的能量圈的种类的概率是一样的。一天天过去，你得到越来越多的能量，开始了进化演变。
但是你也有自己的问题，有时你会面对邪恶的果冻鱼。它会追着你咬你，你不得不扔出最小能量值的能量圈然后赶忙逃跑。在这种情况下，你不会有任何的胃口了，因此这天你将不再得到任何能量圈。幸好，当你没有任何能量圈的时候，果冻鱼就算看见你也不会追着你，此时你可以好好地享用美食。
你听说当你的总的能量值超过了某个阈值之后，可以进化成强大模式并能够吃掉果冻鱼。是时候反击了！下面是本题的问题：预计要过多少天你才能进化成强大模式？（第一天默认你没有任何能量圈）

Input
输入包含多个测例。对每个测例会有两行。第一行是一个浮点数P，一个整数T和一个整数N。P是每天遇到果冻鱼的概率，T是阈值。第二行是N个不同的正整数，表示每一种能量圈的能量值。

Output
对于每个测例，输出一行表示预计要过多少天你的能量值能够超过阈值，四舍五入到三位小数。

Sample Input

0.5 0 1
1
0.5 1 2
1 2

Sample Output

1.000
2.000

Hint
对于所有数据，0.1≤P≤0.9，1≤T≤50，1≤N≤30。

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一道概率题。
这种最不走运能够走∞步，想用无穷级数，因为走法太恶心，所以行不通。
然而解决期望的另一种是DP设期望，然后得出方程。

将能量值排序。

设$f_{x,y}$表示由状态{能量总和为x，最小能量环为第y小}到终点$x'>T$的期望天数
那么$f_{x,y}$有$p'$的概率被吃掉一个环（$p'=p(x>0) \ \ p'=0(x=0)$），即有$p'$的概率由$f_{fa}+1$转移来；有$1-p'$的概率往下走，也就是说有$1-p'$的概率由$\frac{f_{a_i,i}+1}i$转移过来。
即：

$$f_{x,y}=p'(f_{fa}+1)+\frac{1-p'}y\sum_{i=1}^yf_{x+a_i,i}+1$$

考虑递归，每个状态返回用$f_{fa}$表示$f_{x,y}$的方法，它是个一元一次多项式。

那么用$f_{x,y}$表示$f_{x+a_i,i}$后，$\frac{1-p'}y\sum_{i=1}^yf_{x+a_i,i}+1$也可以用$f_{x,y}$表示，设其为$Af_{x,y}+B$

原式化为

$$f_{x,y}=p'f_{fa}+p'+Af_{x,y}+B$$ 解方程 $$f_{x,y}=\frac{p'}{1-A}f_{fa}+\frac{p'+B}{1-A}$$
这样就表示好了。

递归$f(0,n)$，这时$f_{fa}=0$

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define db double

using namespace std;

int n,lim,v[40];
db p;
struct fc{db a,b;};

fc operator+(fc a,fc b){return (fc){a.a+b.a,a.b+b.b};}
fc operator+(fc a,db b){return (fc){a.a,a.b+b};}
fc operator*(fc a,db b){return (fc){a.a*b,a.b*b};}

fc P(int s,int x){
    if(s>lim)return (fc){0,0};
    fc ex=(fc){0,0};db _p=(s?1-p:1)/(db)x;
    for(int i=1;i<=x;i++)ex=ex+(P(s+v[i],i)+1)*_p;
    if(s){
        db t=1-ex.a;return (fc){p/t,(ex.b+p)/t};
    }return (fc){0,ex.b/(1-ex.a)};
}

int main(){
    freopen("flow.in","r",stdin);
    freopen("flow.out","w",stdout);
    while(~scanf("%lf %d %d",&p,&lim,&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);sort(v+1,v+n+1);
        printf("%.3lf\n",P(0,n).b);
    }
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}