动态规划 最长公共子序列

问题：
什么是最长公共子序列呢？好比一个数列S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。

举个例子，如：有两条随机序列，如 1 3 4 5 5 ，2 4 5 5 7 6，则它们的最长公共子序列便是：4 5 5。

分析：

• 最长公共子序列的结构
  最长公共子序列的结构有如下表示：
  设序列X = < x1, x2, …, xm>和Y = < y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z = < z1, z2, …, zk>，则：

  1. 若xm = yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
  2. 若xm ≠ yn且zk ≠ xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
  3. 若xm ≠ yn且zk ≠ yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

  其中Xm-1=< x1, x2, …, xm-1>，Yn-1=< y1, y2, …, yn-1>，Zk-1=< z1, z2, …, zk-1>。

• 子问题的递归结构
  由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=< x1, x2, …, xm>和Y=< y1, y2, …, yn>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：

  1. 当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。
  2. 当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

  由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

  与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=< x1, x2, …, xi>，Yj=< y1, y2, …, yj>。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。其他情况下，由定理可建立递归关系。

求解：

#include <cstdio>    
#include <iostream>    
#include <algorithm>    
#include <string>    
using namespace std;    

int main()    
{    
    string str1,str2;    
    int dp[200][200];    

    while(cin>>str1>>str2)    
    {    
        memset(dp,0,sizeof(dp));    

        int la = str1.length();    
        int lb = str2.length();    

        for(int i = 1; i <= la; i++)    
            for(int j = 1; j <= lb; j++)    
            {    
                if(str1[i - 1] == str2[j - 1])    
                {    
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;    
                }    
                else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);    
            }   

        cout<<dp[la][lb]<<endl;    
    }    
    return 0; 
}

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转自：http://blog.youkuaiyun.com/u013445530/article/details/45645307