动态规划 最长非降子序列

问题：
LIS：longest increasing subsequence
一个序列有N个数：A[1],A[2],…,A[N]，求出最长非降子序列的长度。

分析：
　　首先要定义一个“状态”来代表它的子问题，并且找到它的解。注意，大部分情况下，某个状态只与它前面出现的状态有关，而独立于后面的状态。
　　假如考虑求A[1],A[2],…,A[i]的最长非降子序列的长度，其中i < N，那么上面的问题变成了原问题的一个子问题（问题规模变小了，你可以让i=1,2,3等来分析）。然后我们定义d(i)，表示前i个数中以A[i]结尾的最长非降子序列的长度。如果把d(1)到d(N)都计算出来，那么最终要找的答案就是这里面最大的那个。状态找到了，下一步找出状态转移方程。

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为了方便理解我们是如何找到状态转移方程的，我先把下面的例子提到前面来讲。如果我们要求的这N个数的序列是：
5，3，4，8，6，7
根据上面找到的状态，可以得到：（下文的最长非降子序列都用LIS表示）
· 　前1个数的LIS长度d(1)=1 (序列：5)
· 　前2个数的LIS长度d(2)=1 (序列：3；3前面没有比3小的)
· 　前3个数的LIS长度d(3)=2 (序列：3，4；4前面有个比它小的3，所以d(3)=d(2)+1)
· 　前4个数的LIS长度d(4)=3 (序列：3，4，8；8前面比它小的有3个数，所以d(4)=max{d(1), d(2), d(3)}+1=3)

分析到这，状态转移方程已经很明显了，如果已经求出了d(1)到d(i-1)，那么d(i)可以用下面的状态转移方程得到：
d(i) = max{1, d(j)+1}，其中j < i，A[j] <= A[i]
所以想要求d(i)，就把i前面的各个子序列中，最后一个数不大于A[i]的序列长度加1，然后取出最大的长度即为d(i)。当然了，有可能i前面的各个子序列中最后一个数都大于A[i]，那么d(i)=1，即它自身成为一个长度为1的子序列。

求解

#include <iostream>    
#include <algorithm>    
usingnamespace std;    

int main()    
{    
    int dp[2000],a[2000],n;    
    while(cin>>n)    
    {    
        memset(dp,0,sizeof(dp));   

        int res = 0;    
        for(int i = 0; i < n; i++) cin>>a[i];    

        for(int i = 0; i < n; i++)    
        {    
            dp[i] = 1;    
            for(int j = 0; j < i; j++)    
            {    
                if(a[j] < a[i])    
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);    
            }    

            res = max(res,dp[i]);    
        }    

        cout<<res<<endl;    
    }  

    return 0;    
}  

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转自：http://blog.youkuaiyun.com/u013445530/article/details/45645307