几种 Proximity Graphs 的单调性分析

最新推荐文章于 2025-05-17 12:04:49 发布

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#拓扑学 #图论 #算法 #几何学

本文探讨了基于近邻图的近似最近邻搜索算法的效率与精度，重点关注图的单调性对搜索性能的影响。德劳内图(Delaunay Graph)被证明是单调的，而相对邻域图(RNG)、加布里埃尔图(GG)和最小生成树(MST)则不是。单调路径的概念在图理论中至关重要，对于搜索算法的优化有指导意义。尽管RNG在大多数情况下近乎单调，但其非单调性的特殊情况表明，优化搜索路径的策略需要考虑图的特定结构。

引言

最近，基于近邻图的近似最近邻搜索算法（ANNS）取得了最优的效率和精度权衡。在图索引上，路径的单调性对相关ANNS算法的搜索性能起着至关重要的影响。几种当前最优的ANNS算法比如HNSW，NSG普遍能使搜索路径尽可能的单调递减，从而避免由于“绕远路”而降低搜索效率。本文介绍的几种proximity graphs是这些ANNS算法的基础，与当前的实用算法相比，这些proximity graphs有着严格的形式化定义，这给理论分析相关性质带来便利，从而也给实用的ANNS算法提供理论保证和优化方向。接下来，我们主要分析proximity graphs的单调性，proximity graphs包括德劳内图（Delaunay Graph, 它与voronoi diagram对偶）、Relative Neighborhood Graph (RNG)、Gabriel Graph (GG)、Minimum Spanning Trees (MST)。

首先给出结论：Delaunay Graph 是单调的图，而RNG, GG和MST都不是单调的图。

何为图的单调性

在此之前，我们需要先了解一下什么是单调路径？对于图G上的一个m个依次邻接的顶点形成的路径 $,vm)(v_{1},v_{2},\cdots, v_{m})$ ，若 $dist(v1,vm)>dist(v2,vm)>⋯>dist(vm−1,vm)dist(v_1,v_m) > dist (v_2, v_m) > \cdots > dist(v_{m-1},v_m)$ ，则该路径是一条单调路径， $d i s t (,)$ 表示两个顶点之间的距离。如果一个图G的任意两个顶点之间均存在单调路径，则图G便是单调图了。