数列的单调性

最新推荐文章于 2025-06-08 13:45:29 发布

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文章标签： c/c++

原文链接：http://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10696741.html

前言

一、相关性质

A、当数列$\{a_n\}$为特殊类型的数列时，

比如等差数列，$a_n=a_1+(n-1)d$，则其单调性取决于$d$，

$d>0$为单调递增数列，$d=0$为常数列，$d<0$为单调递减数列，

比如等比数列，$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，则其单调性取决于$a_1$和$d$，

当$a_1>0$且$q>1$时为单调递增数列；当$a_1<0$且$0<q<1$时为单调递增数列；

当$a_1>0$且$0<q<1$时为单调递减数列；当$a_1<0$且$q>1$时为单调递减数列；

当$q=1$时为常数列，当$q<0$时为摆动数列，

B、当数列为一般数列时，

由于$a_{n+1}>a_n$时为单调递增数列，当$a_{n+1}<a_n$时为单调递减数列，当$a_{n+1}=a_n$时为常数列，

故可以借助作差法判断$a_{n+1}-a_n>0$，则为单调递增数列，或$a_{n+1}-a_n<0$，则为单调递减数列；

若有$a_n>0$，则还可以借助作商法判断$\cfrac{a_{n+1}}{a_n}>1$，则为单调递增数列，或$\cfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$，则为单调递减数列，

C、还可以借助数列的函数特性，

比如$S_n=2^n-1$，则数列$\{S_n\}$单调递增；

D、案例，$b_n=\cfrac{n}{2^{n-1}}$，其前$n$项的和为$S_n$，能想到的判断$S_n$的单调性的思路；

思路1：观察法，由于$b_n>0$，则$S_n$单调递增，原因是正数越加越大；最简单实用；

思路2：函数法，用错位相减法求得$S_n=4-\cfrac{n+2}{2^{n-1}}$，利用指数函数和幂函数的函数值的增长速度不一样，可知函数$S_n$单调递增，但有局限性，比如当幂函数的斜率比较大时，前面的有限项往往说不清；

思路3：作差法，$S_n-S_{n-1}=\cfrac{n}{2^{n-1}}>0$，则$S_n$单调递增，思维最严密；

二、典例剖析

例1【2018广东广州一模】已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$2a_na_{n+1}=a_n^2+1$，设$b_n=\cfrac{a_n-1}{a_n+1}$，则数列$\{b_n\}$是【】

$A.常数列$ $B.摆动数列$ $C.递增数列$ $D.递减数列$

法1：由于$2a_na_{n+1}=a_n^2+1$，则可知$a_{n+1}=\cfrac{a_n^2+1}{2a_n}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})$，

则$b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=\cfrac{\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})-1}{\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})+1}=\cfrac{(a_n-1)^2}{(a_n+1)^2}=b_n^2$，

又由于$a_1=2$，$b_1=\cfrac{a_1-1}{a_1+1}=\cfrac{1}{3}$，故$b_2=b_1^2=(\cfrac{1}{3})^2$，$b_3=b_2^2=(\cfrac{1}{3})^4$，$b_4=b_3^2=(\cfrac{1}{3})^8$，故数列$\{b_n\}$为递减数列。故选$D$。

法2：(待思考)，$a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})$，故$a_n>0$，则$a_{n+1}\ge \cfrac{1}{2}\cdot 2=1$，

例2【2018广东东莞二模】已知等比数列$\{a_n\}$与等差数列$\{b_n\}$，$a_1=b_1=1$，$a_1\neq a_2$，$a_1$，$a_2$，$b_3$成等差数列，$b_1$，$a_2$，$b_4$成等比数列，

(1).求数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$的通项公式；

分析：$a_n=2^{n-1}$，$b_n=n$，

(2).设$S_n$，$T_n$分别是数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$的前$n$项的和，若$S_n+T_n>100$，求$n$的最小值；

分析：$S_n=2^n-1$，$T_n=\cfrac{n(n+1)}{2}$，则$S_n+T_n=2^n-1+\cfrac{n(n+1)}{2}$单调递增，

又$S_6+T_6=84<100$，$S_7+T_7=155>100$，故$n_{min}=7$。

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