影子价格 Shadow Price

原创已于 2024-01-05 22:14:27 修改 · 3.2k 阅读

27 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#运筹学 #影子价格

于 2024-01-03 22:21:57 首次发布

运筹专栏收录该内容

5 篇文章

订阅专栏

本文详细阐述了影子价格的概念，它在约束优化问题中表示当改变约束条件时目标函数的响应。文章解释了影子价格如何反映资源稀缺程度，以及如何通过影子价格决定生产策略和资源采购。还涉及了对偶问题的最优解和资源利用效率分析，包括检验数在决策中的经济含义。

写于：2024年1月3日晚
修改于：2024年1月5日晚，修改影子价格的表述。

影子价格：保持其他参数不变的情况下，某约束的右端项在某个微小范围内变动一单位，导致最优目标函数值的变动量。若超过一定范围，那么影子价格会发生变动。

每个约束对应一个影子价格，量纲为目标函数的”单位/约束单位”

原规划	对偶规划
${∑j=1naijxj≤bi(i=1,2,…,m)xj≥0(j=1,2,…,n)\begin{aligned}& \max \mathrm{z}=\sum_{j=1}^n c_j x_j \\& \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i(i=1,2, \ldots, m) \\x_j \geq 0(j=1,2, \ldots, n)\end{array}\right.\end{aligned}$	${∑i=1maijyi≥cj(j=1,2,…,n)yi≥0(i=1,2,…,m)\begin{aligned}& \max \mathrm{w}=\sum_{i=1}^m b_i y_i\\& \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i \geq c_j(j=1,2, \ldots, n) \\y_i \geq 0(i=1,2, \ldots, m)\end{array}\right.\end{aligned}$

资源稀缺度

当 $y_i>0$ 时，有 $∑j=1naijxj=bi\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j=b_i$ ，表示资源 $b_i$ 耗尽且稀缺，影子价格 $y_i$ 值越大，说明资源 $b_i$ 稀缺程度越大

当 $y_i=0$ 时，有 $∑j=1naijxj≤bi\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i$ ，表示资源 $b_i$ 未充分利用或刚用完。

边际贡献

$∂z∗∂bi=y∗\frac{\partial z^*}{\partial \mathrm{b}_{\mathrm{i}}}=\mathrm{y}^*$ ，表示资源得到最优利用的条件下， $b_i$ 每增加一单位带来目标函数值的增量（每单位第 $i\mathrm{i}$ 种资源对目标函数值的边际贡献)。
当资源 $b_i$ 市场价格小于 $y_i$ 边际价格，那么买入资源; 否则卖出。

检验数经济意义

$σj=cj−∑i=1maijyi=cj−CBB−1Pj=cj−Y∗Pj\sigma_j=c_j-\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i=c_j-C_B B^{-1} P_j=c_j-Y^* P_j$ ，其中 $c_j$ 表示产品 $j\mathrm{j}$ 的价格， $∑i=1maijyi\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i$ 表示生产产品 $j\mathrm{j}$ 所需的成本。