softmax原理和代码理解：
我们知道logistic regression很适合做一些非线性方面的分类问题，不过它只适合处理二分类的问题，且在给出分类结果时还会给出结果的概率。那么如果需要用类似的方法（这里类似的方法指的是输出分类结果并且给出概率值）来处理多分类问题的话该怎么扩展呢？本次要讲的就是对logstic regression扩展的一种多分类器，softmax regression。
在Logistic regression中，所学习的系统的程为：
其对应的损失函数为：
可以看出，给定一个样本，就输出一个概率值，该概率值表示的含义是这个样本属于类别’1’的概率，因为总共才有2个类别，所以另一个类别的概率直接用1减掉刚刚的结果即可。如果现在的假设是多分类问题，比如说总共有k个类别。在softmax regression中这时候的系统的方程为：
其中的参数sidta不再是列向量，而是一个矩阵，矩阵的每一行可以看做是一个类别所对应分类器的参数，总共有k行。所以矩阵sidta可以写成下面的形式：
此时，系统损失函数的方程为：
其中的1{.}是一个指示性函数，即当大括号中的值为真时，该函数的结果就为1，否则其结果就为0。
当然了，如果要用梯度下降法，牛顿法，或者L-BFGS法求得系统的参数的话，就必须求出损失函数的偏导函数，softmax regression中损失函数的偏导函数如下所示：
注意公式中的
是一个向量，表示的是针对第i个类别而求得的。所以上面的公式还只是一个类别的偏导公式，我们需要求出所有类别的偏导公式。
表示的是损失函数对第j个类别的第l个参数的偏导。
比较有趣的时，softmax regression中对参数的最优化求解不只一个，每当求得一个优化参数时，如果将这个参数的每一项都减掉同一个数，其得到的损失函数值也是一样的。这说明这个参数不是唯一解。用数学公式证明过程如下所示：
那这个到底是什么原因呢？从宏观上可以这么理解，因为此时的损失函数不是严格非凸的，也就是说在局部最小值点附近是一个”平坦”的，所以在这个参数附近的值都是一样的了。那么怎样避免这个问题呢？其实加入规则项就可以解决（比如说，用牛顿法求解时，hession矩阵如果没有加入规则项，就有可能不是可逆的从而导致了刚才的情况，如果加入了规则项后该hession矩阵就不会不可逆了），加入规则项后的损失函数表达式如下：
这个时候的偏导函数表达式如下所示：
接下来剩下的问题就是用数学优化的方法来求解了，另外还可以从数学公式的角度去理解softmax regression是logistic regression的扩展。
网页教程中还介绍了softmax regression和k binary classifiers之间的区别和使用条件。总结就这么一个要点：如果所需的分类类别之间是严格相互排斥的，也就是两种类别不能同时被一个样本占有，这时候应该使用softmax regression。反正，如果所需分类的类别之间允许某些重叠，这时候就应该使用binary classifiers了。
代码如下，有助于理解原理：
#include <iostream>
#include <math.h>
#include<algorithm>
#include <functional>
#include <string>
#include <cassert>
#include <vector>
using namespace std;
class LogisticRegression {
public:
LogisticRegression(int inputSize, int k, int dataSize, int num_iters,double learningRate);
~LogisticRegression();
bool loadData(const string& filename);//加载数据
void train();//训练函数
void softmax(double* thetaX);//得到样本对应的属于某个类别的概率
double predict(double* x);//预测函数
double** getX();
double** getY();
void printX();
void printY();
void printTheta();
private:
int inputSize;//输入特征数，不包括bias项
int k;//类别数
int dataSize;//样本数
int num_iters;//迭代次数
double **theta;//学习得到的权值参数
double alpha;//学习速率
double** x;//训练数据集
double** y;//训练数据集对应的标号
};#include "LogisticRegression.h"
LogisticRegression::LogisticRegression(int in, int out,int size, int num_iters,double learningRate) {
inputSize = in;
k = out;
alpha = learningRate;
dataSize = size;
this->num_iters = num_iters;
// initialize theta
theta = new double*[k];
for (int i = 0; i<k; i++) theta[i] = new double[inputSize];
for (int i = 0; i<k; i++) {
for (int j = 0; j<inputSize; j++) {
theta[i][j] = 0;
}
}
//initialize x
x = new double*[dataSize];
for (int i = 0; i<dataSize; i++) x[i] = new double[inputSize];
for (int i = 0; i<dataSize; i++) {
for (int j = 0; j<inputSize; j++) {
x[i][j] = 0;
}
}
//initialize y
y = new double*[dataSize];
for (int i = 0; i<dataSize; i++) y[i] = new double[k];
for (int i = 0; i<dataSize; i++) {
for (int j = 0; j<k; j++) {
y[i][j] = 0;
}
}
}
LogisticRegression::~LogisticRegression() {
for (int i = 0; i<k; i++) delete[] theta[i];
delete[] theta;
for (int i = 0; i < dataSize; i++)
{
delete[] x[i];
delete[] y[i];
}
delete[] x;
delete[] y;
}
void LogisticRegression::train() {
for (int n = 0; n < num_iters; n++)
{
for (int s = 0; s < dataSize; s++)
{
double *py_x = new double[k];
double *dy = new double[k];
//1.求出theta*x
for (int i = 0; i<k; i++) {
py_x[i] = 0;
for (int j = 0; j<inputSize; j++) {
py_x[i] += theta[i][j] * x[s][j];
}
}
//2.求出概率
softmax(py_x);
for (int i = 0; i<k; i++) {
dy[i] = y[s][i] - py_x[i];//真实值与预测值的差异
for (int j = 0; j<inputSize; j++) {
theta[i][j] += alpha * dy[i] * x[s][j] / dataSize;
}
}
delete[] py_x;
delete[] dy;
}
}
}
void LogisticRegression::softmax(double *x) {
double max = 0.0;
double sum = 0.0;
for (int i = 0; i<k; i++) if (max < x[i]) max = x[i];
for (int i = 0; i<k; i++) {
x[i] = exp(x[i] - max);
sum += x[i];
}
for (int i = 0; i<k; i++) x[i] /= sum;
}
double LogisticRegression::predict(double *x) {
double clsLabel;
double* predictY = new double[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
predictY[i] = 0;
for (int j = 0; j < inputSize; j++) {
predictY[i] += theta[i][j] * x[j];
}
}
softmax(predictY);
double max = 0;
for (int i = 0; i < k; i++)
{
if (predictY[i]>max) {
clsLabel = i;
max = predictY[i];
}
}
return clsLabel;
}
double** LogisticRegression::getX()
{
return x;
}
double** LogisticRegression::getY()
{
return y;
}
bool LogisticRegression::loadData (const string& filename)
{
const int M = 1024;
char buf[M + 2];
int i;
vector<int> responses;
FILE* f = fopen(filename.c_str(), "rt");
if (!f)
{
cout << "Could not read the database " << filename << endl;
return false;
}
int rowIndex = 0;
for (;;)
{
char* ptr;
if (!fgets(buf, M, f) || !strchr(buf, ','))// char *strchr(const char *s,char c):查找字符串s中首次出现字符c的位置
break;
y[rowIndex][buf[0] - 'A'] = 1;
ptr = buf + 2;
for (i = 0; i < inputSize; i++)
{
int n = 0;//存放sscanf当前已读取了的总字符数
int m = 0;
sscanf(ptr, "%d%n", &m, &n);//sscanf() - 从一个字符串中读进与指定格式相符的数据
x[rowIndex][i] = m;
ptr += n + 1;
}
rowIndex++;
if (rowIndex >= dataSize) break;
if (i < inputSize)
break;
}
fclose(f);
cout << "The database " << filename << " is loaded.\n";
return true;
}
void LogisticRegression::printX()
{
for (int i = 0; i<dataSize; i++) {
for (int j = 0; j<inputSize; j++) {
cout << x[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
void LogisticRegression::printY()
{
for (int i = 0; i<dataSize; i++) {
for (int j = 0; j<k; j++) {
cout << y[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
void LogisticRegression::printTheta()
{
for (int i = 0; i < k; i++) {
for (int j = 0; j < inputSize; j++) {
cout << theta[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}转载的代码：http://blog.youkuaiyun.com/sq8912/article/details/45114439
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