#G. Longge

原创已于 2023-01-03 20:42:34 修改 · 293 阅读

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#c++ #算法 #开发语言 #数据结构

于 2023-01-03 20:03:05 首次发布

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文章讲述了如何计算在1到N之间每个数与N的最大公约数的累加和，提供了两种不同的做法，一种是直接模拟，时间复杂度为O(nlog(n))；另一种利用欧拉函数和因数分解，优化了计算效率。

一，题目

Description

给你一个整数N，问你在[1,N]中的每个数字i

其与N来求最大公约数的结果的累加和

Format

Input

第一行输入一个正整数N

1<=N<=2^32

Output

输出1行

Samples

输入数据 1

输出数据 1

Hint

gcd(1,6)=1

gcd(2,6)=2

gcd(3,6)=3

gcd(4,6)=2

gcd(5,6)=1

gcd(6,6)=6

以上结果加起来正好为15

二,60分做法

直接照着题意模拟,用一个变量s记录答案,枚举1~n的数并将s+=__gcd（i,n）,最后输出即可。

时间复杂度为O(n log(n))

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,s,t;
signed main()
{
  cin>>t;
  s = 0;
  for(int i = 1;i <= t;i++) s += __gcd(i,t);
  cout<<s<<endl;
  return0; 
}

三，100分做法

拿样例举例:

6 = 1 * 6,那么fin(1) = 1,1 * (6 / 1) = 6

6 = 2 * 3,那么fin(2) = 1,1 * (6 / 2) = 3

6 = 3 * 2,那么fin(3) = 2,2 * (6 / 3) = 4

6 = 6 * 1,那么fin(6) = 2,2 * (6 / 6) = 2

那么我们就只需要把6 + 3 + 4 + 2 = 15即是答案!

也就是用ans存储答案,再枚举n的因数i,将ans += fin(i) * (n / i);然后因为枚举一个因数就能得到另一个因数n / i,所以先判断i * i 是否等于n,不是的话再将n / i 替换i,也就是将ans += fin(n / i) * (n / (n / i));最后输出ans即可。

p.s:

1.此处fin()为欧拉函数,设N=a^a1* b^b1* c^c1* ....则fin(N)代表比N小且与N互质的数的个数,也就是N*(1-1/a)(1-1/b)(1-/c)....

2.在这里要特判fin(1) = 1!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,s,t,ans;
int fin(int n)
{
  if(n == 1) return 1;
  int t;
  double p,s;
  queue<int>q;
  s = n;
  for(long long i = 2; i <= s / i; i++)
  {
    if(n % i == 0)
    {
      q.push(i);
      while(n % i == 0) n /= i;
    }
  }
  if(n > 1) q.push(n);
  while(!q.empty())
  {
    t = q.front();
    q.pop();
    p = 1.0 - 1.0 / t;
    s *= p;
  }
  return s;
}
signed main()
{
  cin>>n;
  int t = n;
  for(int i = 1;i <= n / i;i++)
    if(n % i == 0)
    {
      int f = fin(i);
      t = f * (n / i);
      ans += t;
      if(i * i == n) continue;
      f = fin(n / i);
      t = f * (n / (n / i));
      ans += t;
    }
  cout<<ans;
  return 0; 
}

最后,如果看懂的话,就请给我点个赞吧！qwq