欧几里得算法（辗转相除法）

说明：欧几里得算法是用来求两个整数的最大公因数的算法。内容是对于两个整数a和b的最大公因数与b和r（r是a除以b的余数）的最大公因数相等。

设gcd(a,b)代表a和b的最大公因数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，其中r表示a除以b的余数。

证明如下：

设c是a和b的最大公因数，即c=gcd(a,b)。则有a=mc，b=nc且m和n互质。

不妨设a=kb+r，r是余数。则r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c。

所以gcd(b,r)=gcd(nc,(m-kn)c)=c*gcd(n,m-kn)。

所以，现在只需要证明n与m-kn互质。

使用反证法：假设n和m-kn不互质，则存在公因子d>1使得n=xd，m-kn=yd

此时a=mc=(kn-yd)c=(kxd-yd)c=(kx-y)dc

b=nc=xdc。此时推出dc是a和b的公因数dc>c，这和c是a与b的最大公因数相矛盾，所以假设不成立。

得证。

程序如下：

long gcd(long m,long n)
{
      while(n != 0)
      {
            long rem = m % n;//余数
            m = n;
            n = rem;
      }
      return m;
}

这个算法的时间复杂度为O(logN)，因为经过两次迭代后，余数小于原始值的一半。（为什么是两次因为，如果m<n，则程序的第一次循环完成m和n互换。）

定理：如果m > n，则m % n < m / 2。

证明：

               情况一：n <= m / 2 则此时余数 r < n，所以r< m /2。

              情况二：n > m / 2 则此时 m = n + r。即m中最多只含有一个n 所以r = m - n < m / 2。

       综上，得证。