1331 - Minimax Triangulation（DP）

最新推荐文章于 2023-12-06 17:25:00 发布

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动态规划

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本文探讨了最优三角形剖分问题的变形，通过区间化将问题转化为有序决策，采用动态规划方法求解，并详细解释了如何避免不合法的三角形构造，确保解的正确性和有效性。

该题就是最优三角形剖分的变形，虽然要用到一些几何知识，但是我们可以将其区间化，让决策变得有序。这样就变成了区间问题。我们定义d[i][j]表示由i~j顶点组成的子多边形的最优解，那么不难写出状态方程： d[i][j] = min(max(d[i][k],d[k][j],S)) 其中S为i、k、j三个顶点构成的三角形面积。我们不难发现这样的递推是正确的，但是有一个问题：我们划分出的图形有可能是不合法的，因为题目规定直线不能相交，然而我们勾勒出的三角形i-k-j之中如果有其他的点，那么必然会造成我们画的直线相交。所以要排除掉这些不合法的点。那么，可能有人会问：这样不会丢解吗？不会，因为对于我们枚举的任意两点i、j一定能找到一点k构成一个合法的三角形。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 55;
const double eps = 1e-6;
const double INF = 2000000000.0;
int T,n;
double d[maxn][maxn];
struct node {
    double x,y;
}a[maxn];
double area(node a, node b, node c) {
    return fabs((b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)) / 2.0;
}
bool judge(int i, int j, int k) { //如果x点与三个顶点围成的三个三角形面积等于三角形i-k-j，那么x点在内部
    double s = area(a[i], a[j], a[k]);
    for (int x = 0; x < n; x++) {
        if (x == i || x == j || x == k) continue;
        double sum = area(a[i], a[j], a[x]) + area(a[i], a[k], a[x]) + area(a[k], a[j], a[x]);
        if (fabs(sum - s) < eps) return false;//注意浮点误差
    }
    return true;
}
int main() {
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
        for(int i=1;i<=n-1;i++) d[i][i+1] = -100 ; //初始化边界，因为是求最大值，所以初始化足够小
        for(int len=2;len<=n-1;len++) { //大区间依赖与小区间的最优解，所以区间长度从小到大枚举
            for(int i=1;i<=n;i++) {
                int j = i+len;
                if(j>n) break;
                d[i][j] = INF;
                for(int k=i+1;k<j;k++) {
                    if (!judge(i, k, j)) continue; //不合法的解
                    if(j == i+2) d[i][j] = area(a[i], a[k], a[j]);
                    else {
                        double s = area(a[i], a[k], a[j]);
                        d[i][j] = min(d[i][j], max(max(d[i][k], d[k][j]), s));
                    }
                }
            }
        }   
        printf("%.1f\n",d[1][n]);
    }
    return 0;
}