10003 - Cutting Sticks（DP）

最新推荐文章于 2021-05-25 11:51:06 发布

原创最新推荐文章于 2021-05-25 11:51:06 发布 · 939 阅读

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本文深入探讨动态规划在解决木棍切割最小成本问题中的应用，通过两种方法——记忆化搜索与递推——实现高效求解。详细阐述了状态定义的重要性及规划方向的遵循原则，同时对比了两种方法的性能差异，为读者提供了解决类似问题的实用策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

类似于最优矩阵链乘，将长区间划分成段区间求解，换句话说：长区间依赖于段区间。因此如果利用三重循环递推的话，枚举的顺序应该是木棍的长度从小到大，因为长区间依赖于短区间的最优解。所以动态规划的重点我认为就是对状态的定义和动态规划的方向，状态的定义要确保覆盖所有状态，规划的方向要遵循一个状态依赖于另一个早已解决的状态。所以该题有两种解决方法：记忆化搜索和递推。

我分别用这两种方法AC了，记忆化搜索更简单易想，耗时0.339。但是递推更快！耗时0.086 。细节请见代码：

1.记忆化搜索：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 2000000000;
int n,l,a[55],d[55][55];
int dp(int i,int j) {
    int& ans = d[i][j];
    if(ans!=-1) return ans;
    ans = INF;
    for(int k=i+1;k<j;k++) {
        ans = min(ans,dp(i,k) + dp(k,j) + a[j] - a[i]);
    }
    return ans;
}
int main() {
    while(~scanf("%d",&l)&&l) {
        scanf("%d",&n);
        memset(d,-1,sizeof(d));//初始化特殊值
        for(int i=0;i<=n;i++) d[i][i+1] = 0; //初始化边界
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        a[n+1] = l; a[0] = 0;
        printf("The minimum cutting is %d.\n",dp(0,n+1));
    }
    return 0;
}

2.递推：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 2000000000;
int n,l,a[55],d[55][55];
int main() {
    while(~scanf("%d",&l)&&l) {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        a[n+1] = l; a[0] = 0;
        for(int len=1;len<=n+1;len++) { //按照木棍长度从小到大递推
            for(int i=0;i<=n;i++) {//i + len 就是j
                if(i+len > n+1) break;
                d[i][i+len] = (len == 1 ? 0 : INF);
                for(int k=i+1;k<i+len;k++) { //寻找切割点
                    d[i][i+len] = min(d[i][i+len],d[i][k] + d[k][i+len] + a[i+len] - a[i]);
                }
            }
        }
        printf("The minimum cutting is %d.\n",d[0][n+1]);
    }
    return 0;
}