数据结构之树(Tree)（一）

数据结构之树（Tree）（一）

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一、什么是树？

在计算机科学中，树是一种常用的数据结构，用来模拟具有层次关系的数据集合。它由节点（nodes）组成，这些节点通过边（edges）连接在一起。树结构中没有循环，并且除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。

1、有关树的基本概念和术语

• 节点 (Node)：树中的一个元素，可以包含一些数据以及指向其子节点的引用。
• 根 (Root)：树的最顶端节点，没有父节点。
• 叶子 (Leaf)：没有任何子节点的节点。
• 父节点 (Parent)：直接位于某个节点之上的节点。
• 子节点 (Child)：直接位于某个节点之下的节点。
• 兄弟节点 (Siblings)：拥有同一个父节点的节点。
• 路径 (Path)：从树的一个节点到另一个节点的序列。
• 深度 (Deepth)：从根节点到特定节点的路径长度。
• 高度 (Height)：树中从根节点到最远叶子节点的最长路径长度。

2、树的类型（二叉树）

我们这里只讨论二叉树 (Binary Tree)，即每个节点最多有两个子节点的树。

• 满二叉树 (Full Binary Tree)：每个节点都有两个子节点或没有子节点。
• 完全二叉树 (Complete Binary Tree)：除了最后一层外，每一层都是满的；最后一层的所有节点都尽可能地集中在左边。
• 平衡二叉树 (Balanced Binary Tree)：任何两个叶子节点的高度差不超过1。
• 二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST)：左子树中的所有节点值小于其父节点值，右子树中的所有节点值大于其父节点值。
  

二、二叉树的实现

1、构建一个二叉树节点

一个基本的二叉树节点包含以下三个属性：

• 数据(Data)：节点所包含的数据。
• 左子节点 (left)：指向该节点的左子节点的引用。
• 右子节点 (right)：指向该节点的右子节点的引用。
  

下面是一个简单的C++结构体实现树节点：

struct BstNode{
    int data;
    BstNode* left;
    BstNode* right;
};

2、插入（Insert）操作

在二叉树中进行插入操作通常取决于二叉树的具体类型。对于一般的二叉树，插入操作比较灵活，可以自由地选择将新节点放在任何位置。但是，对于某些特殊的二叉树，如二叉搜索树（BST），插入操作必须遵循特定的规则。
二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，并且小于其右子树中的所有节点的值。因此，在二叉搜索树中插入新节点时，需要确保新节点满足这一性质。
以下是二叉搜索树（BST）的插入的代码：

BstNode* GetNewNode(int data){
    BstNode* newNode = new BstNode();
    newNode->data = data;
    newNode->left = newNode->right = NULL;
    return newNode;
}
BstNode* Insert(BstNode* rootPrt,int data){
    if(rootPrt == NULL){//先判断是否有树
        rootPrt = GetNewNode(data);
        return rootPrt;
    }
    else if(data <= rootPrt->data){
        rootPrt->left = Insert(rootPrt->left,data);
    }
    else{
        rootPrt->right = Insert(rootPrt->right,data);
    }
    return rootPrt;//每次返回根节点
}
int main() {
    BstNode* rootPrt = NULL;
    rootPrt = Insert(rootPrt,7);
    rootPrt = Insert(rootPrt,5);
}

3、搜索（Search）操作

因为二叉搜索树的特殊性，我们在二叉树中搜索一个数据的时候,可以选择二分法进行搜索，比如，如果你想找最小的数值，那就一直往树的左下方搜就可以，如果要找最大值，就往树的右下方搜索。

bool Search(BstNode* rootPrt,int data){// 判断某个值是不是在树中
    if(rootPrt == NULL) return false;
    else if(rootPrt->data == data) return true;
    else if(data <= rootPrt->data) return Search(rootPrt->left,data);
    else return Search(rootPrt->right,data);
}
int Findmin(BstNode* rootPrt){//寻找最小值
    if(rootPrt == NULL){
        cout<<"Empty Tree"<<endl;
        return -1;
    }
    BstNode* curr = rootPrt;
    while(curr->left!=NULL) {
        curr = curr->left;
    }
    return curr->data;
}
int Findmax(BstNode* rootPrt){
    if(rootPrt == NULL){
        cout<<"Empty Tree"<<endl;
        return -1;
    }
    BstNode* curr = rootPrt;
    while(curr->right!=NULL) {
        curr = curr->right;
    }
    return curr->data;
}