【C++】AVL树-优快云博客

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一、AVL树的定义

AVL树是最先发明的自平衡⼆叉搜索树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的
左右子树都是二叉搜索树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索⼆叉树，通过控制高度差去控制平衡。

思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？我们先看下面的图：

画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如图中的⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，达不到高度差为0。

AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis，他们是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，高度可以控制在 $\log N$ ，那么增删查改的效率也可
以控制在 $O(\log N)$ ，相比⼆叉搜索树有了本质的提升。

二、AVL树的实现

1、平衡因子

关于AVL树的实现，这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标⼀样。

注：平衡因子不是实现AVL树的必备条件，有些地方没有使用平衡因子也能实现AVL树。

下图是含有平衡因子的AVL树：

对于8这个结点来说，它的左子树高度为3，右子树高度为2，那么它的平衡因子就是-1(右子树的高度减左子树的高度)；对于1这个结点来说，它的左子树高度为0，右子树的高度也为0，所以它的平衡因子就是0。如果每个结点的平衡因子大于1或者小于-1，那么这棵树就不是AVL树了，它的平衡性遭到了破坏。 (AVL树相较于二叉搜索树最主要的特点就是平衡，若失去平衡增删查改的时间复杂度就无从谈起)

因为AVL是搜索二叉树，它的插入遵循搜索二叉树的规则，若插入13，如下图所示：

此时，10这个结点的平衡因子更新为2，那么就认为这个树不平衡它就不是AVL树了。针对插入前是AVL树，而插入后不是AVL树的情况，我们会对这棵树进行旋转使它继续保持平衡，旋转的概念下面会详细解释。

2、实现框架

template <class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv; //结点的每个元素类型是pair，搜索场景是key/value
	int _bf; //记录平衡因子，balance factor

	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; //需要父结点的指针，方便更新平衡因子

	//结点的构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)  //新结点的平衡因子都是0(因为它的左右子树均为空树，高度都是0，相减也为0)
	{}
};

template <class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLNode<K, V> Node;
public:

	//... 实现的主要功能写在这个部分

private:
	Node* _root = nullptr; //只需记录树的根节点
};

3、插入函数(insert)

AVL树的插入规则和二叉搜索树一模一样，只不过它要单独更新结点中的parent指针，以及平衡因子。AVL树插入的大致过程如下：

按⼆叉搜索树规则插入一个值。
新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上结点的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。
更新平衡因子过程中出现不平衡，需要对不平衡子树旋转，旋转后调整平衡的同时，本质降低了子树的高度，这个更新过程不会影响上⼀层，所以插入结束。

平衡因子的更新：

更新原则：

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度(也可以是左子树高度 - 右子树高度，那么逻辑就需要改变)
只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子
插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在
parent的左子树，parent平衡因子--(右-左)
parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件(分为3种情况)：

更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父结点的平衡因子，更新结束。
更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1(不可能是2->1或者-2->-1，因为插入前这棵树必须是AVL树)，说明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，这会影响parent的父结点的平衡因子，所以要继续向上更新平衡因子，最坏情况下更新到根结点，更新结束。
更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说
明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插⼊结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新(插入前后高度不变：插入前高度是h，插入后，经过旋转，高度还是h)，更新结束。

以上3种情况都是针对插入前是AVL树，插入后也是AVL树的情景，第三种情况插入后不是AVL树，那我们就需要单独处理，进行旋转。

图例说明：

插入结点13，结点14的平衡因子由0变为-1，需要向上更新，更新到10结点，它的平衡因子由1变为2，此时破坏了平衡，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理。

插入结点-1，结点1的平衡因子由0变为-1，需要向上更新，更新到中间结点3，它的平衡因子由1变为0，但以3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束。

插入结点7，结点6的平衡因子由0变为1，需要向上更新，更新到8这个根结点，这是最坏情况。

在左子树中插入结点，右子树所有结点的平衡因子都不需要改变；在右子树中插入结点，左子树所有结点的平衡因子都不需要改变。

了解完上面的知识，那么代码就很好理解了：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);  //根结点的_parent指针为nullptr
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr; //注意这里的parent是结点的父结点，不是结点中指向父结点的指针
	Node* cur = _root;
	while (cur)  //利用循环找到合适的位置进行插入
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//不允许插入相等的值
			return false;
		}
	}

	//插入新结点
	cur= new Node(kv); //创建新结点
	if (parent->_kv.first < kv.first) //比较的是key值，value值不参与比较
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
		//链接父亲
	cur->_parent = parent;

	//插入结点结束后还要控制平衡
	//更新平衡因子，沿着cur和parent向上更新
	while (parent) //保证parent不为空，如果parent为空就更新结束了，此时cur就是根结点
	{
		if (cur == parent->_left) //parent的平衡因子需要--
			parent->_bf--;
		else					//parent的平衡因子需要++
			parent->_bf++;

		//对应更新停止的第一种情况
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		//对应更新停止的第二种情况
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent =