逐步生成结果——数值型问题（递归/迭代）

一、爬楼梯

假设你正在爬楼梯，每次你可以向上爬 1 阶、2 阶或者 3 阶楼梯。给定楼梯n，求爬到n层的方式之和？

递归：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int floor(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
    if (n == 3) return 4;
    return floor(n-1) + floor(n-2)+ floor(n-3);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << floor(n) << endl;
    return 0;
}

• 从递归的思路中可以看出，这是一种老板思维，也就是老板我并不需要显示的去求出floor(n-1) 、 floor(n-2)、 floor(n-3)，而是假设员工已经求出了他们，然后老板只需要将其组合起来即可。而至于他们到底怎么求，老板并不关心。

迭代：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int floor(int n) {
    if (n == 0) return 1;  // 这里添加 n == 0 的情况，假设 floor(0)=1，使逻辑更完整
    vector<int> dp(n + 1);
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 4;
    for (int i = 4; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
    }
    return dp[n];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << floor(n) << endl;
    return 0;
}

• 迭代就是一种很明显的员工思维，即求出每一个相关的值，一步步地往上爬，最后得到想要的结果。

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二、机器人走方格

一个机器人从左上角出发，走到右下角，求总共可能的路径数？

递归：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//机器人走路（组合问题）
int grid(int m,int n) {
    if (m==1 || n == 1) return 1;
    return grid(m-1,n) + grid(m,n-1);
}

int main() {
    int m,n;
    cin >> m>>n;
    cout << grid(m,n) << endl;
    return 0;
}

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三、硬币表示：

现有1，5，10，20面值的硬币，求大小为n的面值可以有多少种不同的表达方式？

递归：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int>coins = { 1,5,10,20 };


int calNum(int n, int curIndex) {
	if(n<0) return 0;

	if (curIndex == 0) {
		if(n % coins[curIndex] == 0) return 1;
		else return 0;
	}
	int res = 0;

	for (int i = 0; i * coins[curIndex] <= n; i++) {
		res += calNum(n - i * coins[curIndex], curIndex - 1);
	}
	return res;
}

int CountNum(int n, int curIndex) {
	if (n < coins[0]) return 0;
	return calNum(n, curIndex);
}

int main(void) {
	int n;
	cin >> n;

	int num = CountNum(n, 3);
	cout << num << endl;

	return 0;
}

迭代：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#define MAX 100

vector<int>coins = { 1,5,10,20 };

int main(void) {
	int n;
	cin >> n;
	vector<vector<int>>dp(4, vector<int>(MAX, 0));

	for (int i = 0; i < 4; i++) dp[i][0] = 1;
	for (int i = 0; i <= n; i++) dp[0][i] = 1;
	
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			cout << dp[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	cout << endl;

	for (int i = 1; i < 4; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			for (int k = 0; k * coins[i] <= j; k++) {
				dp[i][j]+=dp[i-1][j-k*coins[i]];
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			cout << dp[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	cout << dp[3][n] << endl;
	return 0;
}

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