SCAU 10344 矩阵连乘积的加括号方式数

10344 矩阵连乘积的加括号方式数

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC;JAVA

Description

给定n个矩阵{A1，…，An}，其中Ai和Ai+1可乘，i=1,2,…,n-1。考察矩阵连乘积加括弧的方式数。

如四个矩阵连乘积A1A2A3A4，共有五种不同的加括弧方式：
( A1 ( A2 ( A3 A4 ) ) )
( A1 ( ( A2 A3 ) A4 ) )
( ( A1A2 ) ( A3 A4 ) )
( A1 ( A2 A3 ) A4 )
( ( ( A1 A2 ) A3 ) A4 )

输入示例：
4
输出示例：
5

输入格式

输入矩阵连乘积的个数n（n<=20）。

输出格式

输出矩阵连乘积加括号的方式数。

输入样例

4

输出样例

5

提示

这个问题在书上3.1节（P46）有详细探讨。

对于n个矩阵的连乘积，设不同的计算次序（就是加括号方式数）为P(n)。假设最后一次括号加在第k个和第k+1个
（k=1...n-1）之间。
则P(n)的递归式如下：

P(n) = 1  if n=1;
P(n) = sum{ P(k)*P(n-k) | for k=1 to n-1 }   if n>1

计算P(n)即可。

另外，此题需要注意的是，如果你写的纯递归程序可能会超时的，因为这里递归存在重复，且重复数量庞大。
需要用数组将你算过的元素存储下来，避免重复的递归计算，这样优化后，才能通过。

作者

 zhengchan

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> memo;

int P(int n) {
    if (n == 1) 
        return 1;
    
    if (memo[n] != -1)
        return memo[n];

    int result = 0;

    for (int k = 1; k < n; k++)
        result += P(k) * P(n - k);

    memo[n] = result;
    return result;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n; 

    memo.resize(n + 1, -1);
    
    cout << P(n); 
    return 0;
}