weixin_68693602的博客

我们发现，在暴力匹配时，有很多比较是多余的，比如说，当我们进行了第一次匹配后，第二次匹配其实完全是多余的，因为第二次匹配成功的。其次，跳过去中间不会漏下任何情况，看我们最开始的例子，第二次匹配为什么是不必要的？再比如，当我们进行了第一次匹配后，第四次匹配的前两次比较其实也是多余的，因为我们通过第一次匹配我们得知了。你可能有疑问，我们在跳失配指针时看起来是有一个内循环的，复杂度正确吗？也是顺序的，指的是包含最后一个元素的连续一段，不同，如果这两个串相同，就违反了我们。)，好像就可以完成上面的两个优化了。

这是一种很简单但好用且优雅的n\sqrt nn​分块。考虑求∑i1n⌊ni⌋∑i1n​⌊in​⌋，很容易发现⌊ni⌋⌊in​⌋的值的种类不多，考虑按值域来求解。事实上，⌊ni⌋⌊in​⌋的值最多只有2n2\sqrt n2n​种(并不严谨，但反正是n\sqrt nn​级别的)，证明如下：对于ini>\sqrt nin​⌊ni⌋≤nin⌊in​⌋≤in​n​。

建完模，考虑寻找可行流，由建模的原理，只要源点与汇点所有有关的边全部满流(易证源点满流时汇点也满流)，就可以保证原网络流量平衡，即寻得一条可行流，那么只要跑一遍最大流即可。，那么新源点与新汇点的所有边已经满了，同时也已经让新网络的残量网络流量平衡(感性理解，可以视作都减去一个不同的差值使其平衡)，所以我们以原网络的源点与汇点跑一遍最大流。的流量大于流出的，就从虚拟源点连一条流量为差值的边，反之就连向汇点。好，现在的问题就转化为了怎么保证差值网络流量平衡，可以发现，在一个正常的网络流中，唯一流量不平衡的是。

小，那么为了维护堆性质我们要把右儿子变成根节点，但这样会破坏二叉搜索树性质，所以我们要把。性质嘛，就是二叉搜索树的所有性质它都满足，它只不过是让二叉树的形态平衡一点而已。在二叉搜索树插入与删除的过程中，经常会改变树的形态，我们就需要一种操作来维护。以左旋为例，我们在某一操作结束后发现根节点的右儿子。是一种思路简单，码量较小的(弱)平衡树。，具体代码与二叉搜索树差不多，可以去。取随机数，那么它的形态近乎平衡。中，这种操作就是左旋和右旋。的性质 ，易知这是一棵。的右儿子上，如下图。

咳咳，数学课上学的复数，先写着，之后再补FFTFFTFFT之类的\dots我们用CC表示复数集，任意复数可以表示为abia+biabi的形式，其中a∈Ra∈R为实部，b∈Rb∈R为虚部，iii为虚数单位，满足i2−1i^2=-1i2−1。对于zabiz=a+bizabi，其共轭复数为z‾a−biza−bi。满足xn−10x^n-1=0xn−10的根都被称为单位根。

xy+1|x2+y2。模拟赛的一道T1T1T1，被完虐，记录一下。这思路有点离谱，虽然没用到过任何高级算法、数论知识，但是真的难。其实规律能接受，但证明过程真的复杂。这题据说可以打表找规律，但我没找到，我太蒻了。

理解一下题意，发现一个人的所有敌人都是朋友，所以想到给他们也开一个并查集，进而想到先给每个人都分配一个不存在的敌人，设其为。它的思路很简单：把每一组都看作以某点为首的一棵树，记录每个点的父亲节点，那么就可以不断向上找到根节点，也就代表了这个点的组别。顾名思义，就是每个并查集再维护个什么东西，比较常见的有维护到根的距离，合并时注意点顺序就好了。参考平衡树，尽量让集合的深度低一点，所以可以把浅的数放到深的树下，按子树大小同理。虽然也很好用，但要多开几个数组，代码要改的地方比较多，平常用路径压缩就足够了。

顾名思义，就是每次翻倍增加，属于一种很实用的思想。

懒得画图，想象一下一个沙漏状的结构，上部是大根堆，下部是小根堆，它们有一个共同的堆顶（实际在写代码时只存在于某一个堆中，或者开一个变量存储），这个堆顶就是我们要求的中位数。删掉之后堆顶就空了，所以要让一个元素来顶替它（具体值是多少没关系，一遍调整就好了），那么为了保持完全二叉树的性质，我们肯定要让最后一个元素顶上去。堆顶一定是最小的，所以可以直接输出，然后把它删除。上面讲到，我们是可以把堆看作数组的，那么对于一个数组，我们也可以把它看作堆。当然，现在的“堆”并不满足堆的性质，所以我们要调整，调整是。

形如dpiMinMaxai∗bjcidjdpiMinMaxai∗bjcidj])，又满足一些条件的方程都可以考虑斜优，先推式子，转化为计算几何，之后可以考虑单调性、二分、三分等方法快速求解。

线段树是一种支持各种区间操作、区间询问的数据结构，复杂度同树状数组，时空常数略大，但应用范围极广。树状数组基于二进制，线段树则是基于分治。我们怎么分治？1.1.1.分成左右两部分递归2.2.2.考虑合并3.3.3.考虑边界情况那线段树的写法已经呼之欲出了。

想象一下字典，你查字典肯定不是从头翻到尾的吧，字典树就借鉴了这个思想。每个节点下连接了几个儿子，而节点本身代表一个字符（根除外），那么从一个节点到根节点的路径，就是代表的一个字符串。它有一些显然的性质，比如同前缀的字符串会处在一个子树内，可以利用这些性质干一些事（比如本题就可以dfsdfsdfs求子树和，做到O1O(1)O1询问）。它可以做到O∣s∣O(|s|)O∣s∣的插入与查找。

发现很多简单，但比较偏的算法我都不懂，所以现在开始按随机跳的题来浅浅了解一下这些东西。也可以说是一个数据结构。它可以用一句话来描述：带权路径长度最短的二（多）叉树。一棵树的带权路径长度是每个节点的权值*这个点到根的距离之和。

可以简单理解成函数在ab[a,b]ab区间中与xxx轴围成的面积大小（有正负）。

核心：设计一个算法，使得要哈希的东西在一定程度上一一对应为一个数值，一般是通过取模实现，从而做到O1O(1)O1比较，或者是支持减法，从而做到O1O(1)O1求任意一个东西的哈希值。一般是用于快速比较。哈希的取模，可以使用自然溢出（即超过范围自动取模），或者手动取模。你要知道，因为哈希是基于取模的，所以对着代码还是可以卡的。自然溢出比较方便，而且速度比一般取模略快，但可能被卡，手动取模相对较烦，但不易被卡（因为模数是自定的），不过你也可以自定义一种数据类型来自动取模。

这个东西比较特殊，用图感觉反而会乱（主要是根节点不是111），我就尽量用纯数学的讲吧。定义tiaiai−1⋯ai−lowbiti1tiaiai−1⋯ai−lowbiti1，反正就是前lowbitilowbit(i)lowbiti个数的和。其中lowbitilowbit(i)lowbiti指的是iii在二进制表示下最低位的111所代表的数量级，比如101010。

寻找增广路，求该增广路中的残量最小值，增广路中的每条边都要减去这个最小值，最后答案再加上这个值。不断重复，直到没有增广路了。：从源点出发，通过一些有向边容量的约束，最终能到达汇点的最大流量被称作最大流。寻找增广路，求该增广路中的残量最小值，增广路中的每条边都要减去这个最小值，而。求增广路，但考虑的不是每一条增广路的贡献，而是每个点的贡献。：从源点到汇点的一条路径，这条路径的所有边权都大于0。，最后答案再加上这个值。：网络中的一个特殊的点，只出不进，被称作源点。：网络中的一个特殊的点，只进不出，被称作汇点。

东西好多啊⋯还好都不算难。

有$a%b=a- \lfloor{{a}\over{b}}\rfloor*b $可以推广得到任意方程的通解。对应的，乘法逆元的定义：若。同时逆元也可能不止一个。有整数解的的充要条件是。再来一次裴蜀定理,就有。最后考虑一下边界即可。所以可得到原方程通解。

222种算法都是贪心的，可以根据是稀疏图还是稠密图选择合适的算法，在我做的题中好像kruskalkruskalkruskal应用广泛一点。

多源最短路无脑floydfloydfloyd，随机数据、有负权边或者需要多次最短路可以考虑SPFASPFASPFA，另外情况用dijkstradijkstradijkstra比赛时SPFASPFASPFA请酌情使用。

呃，二元一次方程组解过吧，学校教的是加减消元法和代入消元法，代入消元法是要对原方程移项的，有点麻烦，而加减消元法虽然有很多巧妙的解法，但电脑不知道，所以用最一般的方法：加减消元法正推，代入消元法逆向回带。之所以要回带，是因为高斯消元后的方程组呈三角形，而利用高斯-约旦消元法，我们可以直接得到。高斯消元法的精度误差很大，所以尝试降低误差。你可以尝试一下，会发现除法的误差最大，同时除数越大误差越小。个版本还有一个优化版本，这就是高斯-约旦消元法，它有两个优化。处不再是找到一个就停止，而是找系数最大的方程。

2−sat2-sat2−sat问题指的就是有若干个集合，每个集合内部有222个点，这两个点只能且必须取一个（其实就是一个boolboolbool变量的222种取值），在集合外，还有若干个关系，形如::: x1x_1x1​ 与 y2y_2y2​ 中至少取一个，求是否有满足所有关系的可行解（可能还会要求构造）。形式化一点，就是求构造boolboolbool数列{x}\{x\}{x}使得(x1∨x2)∧(x1∨¬x4)∧(¬x3∨x4)∧(x2∨x5)∧⋯==true(x_1 \vee x_2)\land(x_

类欧几里得算法证明