斜率优化——operator_

引入

考虑一个 $dp$ 方程： $dp[i]=Min/Max(a[i]\ast b[j]+c[i]+d[j])$

单调队列优化就没用了，所以引入斜率优化。

例题(青春猪头少年不会…)

题目大意

定义一个序列的可爱值为 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast i$ ，现在可以选一个值拿出，再重新插入到序列的任意位置，求最大可爱值。

$2\le n\le 3\ast 10^5,0\le |v_i|\le 10^6$

题解

考虑把 $a_i$ 放到 $j$ 去，那么显然 $i$ 以前的贡献不变， $j$ 以后的贡献不变。

那么 ${cute}^{{}^{\prime }}=cute+(j-i)\ast a_i-(s_j-s_i)$

我们要求的就是 $cute+Max(a_i\ast j-s_j-a_i\ast i+s_i)$

定义 $f[i]$ 是拿出 $a_i$ 的最大值。

则 $f[i]=cute-a_i\ast i+s_i+Max(a_i\ast j-s_j)$

考虑斜率优化，令 $j_1$ 比 $j_2$ 优。

则有 $a_i\ast j_1-s_{j_1}\ge a_i\ast j_2-s_{j_2}$

$a_i\ast (j_1-j_2)\ge s_{j_1}-s_{j_2}$

即 $\frac{s_{j_1}-s_{j_2}}{j_1-j_2}\le a_i$ 所以 $P_i(i,s_i)$

然后按 $P_i$ 维护上凸壳，二分查找即可。

但是注意到 $j$ 可能大于 $i$ ，所以正反要做两遍。

$ans=Max(f[i])$

($f[i]$ 仅供理解用，实际并不需要)

代码

没调出来

方法总结

形如 $dp[i]=Min/Max(a[i]\ast b[j]+c[i]+d[j])$ ，又满足一些条件的方程都可以考虑斜优，先推式子，转化为计算几何，之后可以考虑单调性、二分、三分等方法快速求解。