目标跟踪中的匈牙利算法

• 从数学角度来看，线性分配问题（也称为匈牙利算法或指派问题）是一个经典的优化问题，其目的是在两个集合之间找到最佳匹配，使得总成本最小。我们可以将其形式化为一个二分图的最小权匹配问题。

数学背景

假设我们有两个集合 ( A ) 和 ( B )，其中 ( A ) 有 ( m ) 个元素，( B ) 有 ( n ) 个元素。我们有一个 ( m \times n ) 的成本矩阵 ( C )，其中 ( C[i, j] ) 表示将 ( A ) 中的第 ( i ) 个元素分配给 ( B ) 中的第 ( j ) 个元素的成本。

目标是找到一个匹配 $(M\subseteq A\times B)$，使得总成本

${\sum }_{(i,j)\in M}C[i,j]$

最小，并且每个元素最多匹配一次。

算法解释

1. 空成本矩阵的处理

如果成本矩阵为空（即没有元素），则直接返回空匹配和未匹配的索引。

if cost_matrix.size == 0:
    return np.empty((0, 2), dtype=int), tuple(range(cost_matrix.shape[0])), tuple(range(cost_matrix.shape[1]))

2. 使用 LAPJV 算法

如果选择使用 LAPJV 算法（来自 lap 库），则执行以下步骤：

_, x, y = lap.lapjv(cost_matrix, extend_cost=True, cost_limit=thresh)

• lap.lapjv 函数返回三个数组：
  • 第一个数组（未使用）是总成本。
  • x 数组表示每个 ( A ) 中元素的匹配结果，如果未匹配则为 -1。
  • y 数组表示每个 ( B ) 中元素的匹配结果，如果未匹配则为 -1。

matches = [[ix, mx] for ix, mx in enumerate(x) if mx >= 0]
unmatched_a = np.where(x < 0)[0]
unmatched_b = np.where(y < 0)[0]

• matches 是一个列表，包含所有有效的匹配对。
• unmatched_a 和 unmatched_b 分别是未匹配的 ( A ) 和 ( B ) 中的索引。

3. 使用 SciPy 的线性和分配算法

如果选择使用 SciPy 的 linear_sum_assignment 算法，则执行以下步骤：

x, y = scipy.optimize.linear_sum_assignment(cost_matrix)

• scipy.optimize.linear_sum_assignment 返回两个数组：
  • x 表示 ( A ) 中元素的匹配索引。
  • y 表示 ( B ) 中元素的匹配索引。

matches = np.asarray([[x[i], y[i]] for i in range(len(x)) if cost_matrix[x[i], y[i]] <= thresh])

• 这行代码筛选出所有匹配成本不超过阈值的匹配对。

if len(matches) == 0:
    unmatched_a = list(np.arange(cost_matrix.shape[0]))
    unmatched_b = list(np.arange(cost_matrix.shape[1]))
else:
    unmatched_a = list(set(np.arange(cost_matrix.shape[0])) - set(matches[:, 0]))
    unmatched_b = list(set(np.arange(cost_matrix.shape[1])) -