#数据结构 -树

最新推荐文章于 2025-04-02 07:51:43 发布

℡残城碎梦

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文章标签：数据结构 b树

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引言

大家好，我是优快云的新手博主，今天给大家分享一篇关于树与二叉树的详细讲解。树是数据结构中非常重要的一部分，尤其在算法和数据处理中应用广泛。本文将从树的基本概念讲起，逐步深入到二叉树的实现，最后还会附上代码示例。希望能帮助到对树结构还不熟悉的小伙伴们！

1. 什么是树？

树（Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合T，它满足以下两个条件：

有且仅有一个特定的称为**根（Root）**的节点。
其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、...、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树（Subtree）。

树的特性：

层次关系，一对多。
每个节点最多有一个前驱，但可以有多个后继。
根节点无前驱，叶节点无后继。

2. 树的基本术语

度数：一个节点的子树的个数。
树度数：树中节点的最大度数。
叶节点：度数为零的节点。
分支节点：度数不为零的节点。
内部节点：除根节点以外的分支节点。
节点层次：根节点的层次为1，根节点子树的根为第2层，以此类推。
树的深度或高度：树中所有节点层次的最大值。

3. 二叉树

二叉树是每个节点最多只有两个子节点的树，分别称为左孩子和右孩子。

3.1 二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合，它或者是空集（n＝0），或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

3.2 二叉树的性质

二叉树第k（k≥1）层上的节点最多为2^(k-1)个。
深度为k（k≥1）的二叉树最多有2^k - 1个节点。
在任意一棵二叉树中，叶节点的数目比度数为2的节点的数目多一。

3.3 满二叉树和完全二叉树

满二叉树：深度为k（k≥1）时节点数为2^k - 1。
完全二叉树：只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。

4. 二叉树的存储结构

4.1 顺序存储结构

完全二叉树的节点编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n，某节点编号为i：

当i>1时，其父节点编号为i/2。
当2i <= n时，有左孩子，其编号为2i。
当2i+1 <= n时，有右孩子，其编号为2i+1。

4.2 链式存储结构

用链表实现，基于完全二叉树规律来构建树。每个节点包含数据域、左子节点指针和右子节点指针。

5. 二叉树的遍历

二叉树的遍历是树结构中的重点，常见的遍历方式有三种：

前序遍历：根 -> 左 -> 右
中序遍历：左 -> 根 -> 右
后序遍历：左 -> 右 -> 根

代码实现

以下是二叉树的创建和遍历的C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct tree_node {
    int data;
    struct tree_node *lchild;
    struct tree_node *rchild;
} tree_node_t, *tree_node_p;

// 创建二叉树
tree_node_p CreateBitree(int n, int i) {
    if (i > n) return NULL;

    tree_node_p r = (tree_node_p)malloc(sizeof(tree_node_t));
    if (NULL == r) {
        perror("r malloc err");
        return NULL;
    }

    r->data = i;
    r->lchild = CreateBitree(n, 2 * i);
    r->rchild = CreateBitree(n, 2 * i + 1);

    return r;
}

// 前序遍历
void PreOrder(tree_node_p r) {
    if (r == NULL) return;
    printf("%d ", r->data);
    PreOrder(r->lchild);
    PreOrder(r->rchild);
}

// 中序遍历
void InOrder(tree_node_p r) {
    if (r == NULL) return;
    InOrder(r->lchild);
    printf("%d ", r->data);
    InOrder(r->rchild);
}

// 后序遍历
void PostOrder(tree_node_p r) {
    if (r == NULL) return;
    PostOrder(r->lchild);
    PostOrder(r->rchild);
    printf("%d ", r->data);
}

int main() {
    tree_node_p root = CreateBitree(5, 1);

    printf("前序遍历: ");
    PreOrder(root);
    printf("\n");

    printf("中序遍历: ");
    InOrder(root);
    printf("\n");

    printf("后序遍历: ");
    PostOrder(root);
    printf("\n");

    return 0;
}

6. 哈夫曼树

哈夫曼树（Huffman Tree）是一种带权路径长度最短的二叉树，常用于数据压缩。它的构造规则如下：

将n个权值看作n棵树的森林。
选出两个根节点权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根节点权值为其左、右子树根节点权值之和。
重复上述步骤，直到森林中只剩一棵树为止。