高等数学公式大全_背诵手册（持续更新）

二叉树果实

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分类专栏：高等数学文章标签：高等数学

于 2024-07-31 18:52:19 首次发布

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高等数学公式大全_背诵手册（持续更新）

1.常用等价无穷小

x→0时,常用的等价无穷小:
$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \ln(x + 1) \sim x, \quad e^{x} - 1 \sim x \\ \ln\left(x + \sqrt{1 + x^{2}}\right) = x, \quad 1 - \cos x = \frac{1}{2}x^{2}, \quad 1 - \cos^n x = \frac{n}{2}x^{2} \quad \\\ a^{x} - 1 = x\ln a, \quad (1 + x)^{a} - 1 = ax$

2.重要函数的泰勒公式

重要函数的泰勒公式:
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + o\left(x^{3}\right), \quad \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + o\left(x^{4}\right) \\ \arcsin x = x + \frac{x^{3}}{3!} + o\left(x^{3}\right), \quad \tan x = x + \frac{x^{3}}{3}, \quad \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + o\left(x^{3}\right) \\ \ln \left(1 + x\right) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o\left(x^{3}\right) \\ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + o\left(x^{3}\right) \\ \left(1 + x\right)^{a} = 1 + ax + \frac{a\left(a - 1\right)}{2!}x^{2} + o\left(x^{2}\right)$

3. 基本求导公式

给出基本求导公式（需记忆）：

补充1:三角函数常用公式

在这里插入图片描述

4.不等式相关

4.1 均值不等式

均值不等式如下:
在这里插入图片描述

4.2 柯西不等式

柯西不等式如下:
证明：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

记忆：柯西不等式就是
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²

连续型的柯西不等式是积分形式的：
在这里插入图片描述

4.3 常用不等式

在这里插入图片描述

0<x<派/2 sinx>2/派x的助记
在切线和割线之间的sinx

5.反三角函数系列

5.1 在不同区域下的三角函数求其反函数

注意y=sinx的反函数不能直接就写一个arcsiny，在不同的区域下，三角函数的反函数是不同的。

在这里插入图片描述

如何记忆？
就记红色部分就行，记住它的区域，然后其他区域，通过对称平移就能得到。
这里以sinx为例，讲一下记忆的方法。在红色部分是arcsiny，蓝色部分不能直接平移得到，但是arcsiny先关于y轴对称得到-arcsiny，-arcsiny可以平移派个单位得到蓝色部分，故蓝色部分就是派-arcsiny，绿色部分直接平移2派