动态规划模板-最长上升子序列LIS

最长上升子序列，又称LIS(LongestIncreasingSubsequence)是动态规划的一个经典应用。
在原序列取任意多项，不改变他们在原来数列的先后次序，得到的序列称为原序列的子席列。最长上升子席列、就是给定序列的一个最长的、数值从低到高排列的子序列，最长上升子序列不一定是唯一的。例如，序列2,1,5,3,6,4,6,3的最长上升子序列为1.3.4.6和2.3.4.6，长度均为 4。

先确定动态规划的状态，这个问题可以用序列某一项作为结尾来作为一个状态。用 dp[i]表示一定以第 i 项为结尾的最长上升子序列。用a[i]表示第 i 项的值，如果有j < i且a[j]<a[i]，那么把第 i 项接在第 j 项后面构成的子序列长度为:dp[i]= dp[j]+ 1.
要使 dp[i]为以 i 结尾的最长上升子序列，需要枚举所有满足条件的 j。所以转移方程是:
dp|i]= max(dp|i],dp|j]+ 1),1 ≤ j < i && a|j] < a[i]
那么我们之前的例子根据转移方程则可以得到下表:

最后，ap数组里面的最大值就是最长上升子序列的长度了。
这个算法的时间复杂度是 O(N2)。

输入：

6
3 2 6 1 4 5
输出：

3

import java.util.*;

public class LANQIAO1 {
    public static int[] dp = new int[101];
    public static int[] a = new int[101];
    public static int n;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
        }
        int ans = 0; // 保存最大值
        // 遍历每个元素
        for (int i = 1; i <= n ; i++) {
            // 初始值为1，如果无法转移的话 最后也是输出1
            dp[i] = 1;
            for (int j = 1; j < i ; j++) {
                if(a[j] < a[i]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
                }
            }
            // 最大值可能在数列中间取到，所以用最大值记录
            ans = Math.max(ans,dp[i]);
        }
        System.out.println(ans);

    }
}