C语言丨小学数学（二）：高精度乘法_高精度乘法c语言-优快云博客

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本文介绍了如何使用C语言解决计算大整数阶乘时遇到的溢出问题，通过模拟乘法竖式运算，利用数组存储大数并逐位进行乘法和进位操作，实现了高精度计算。详细讲解了代码实现过程，包括输入验证、逐位相乘、进位处理和结果输出等关键步骤。

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计算机，顾名思义，是用于高速计算的电子计算机器。它可以进行数值计算，又可以进行逻辑计算，还具有存储记忆功能。是能够按照程序运行，自动、高速处理海量数据的现代化智能电子设备。[1]但是，计算机的功能毕竟是有限的，再强大的计算机在面对一些问题时也有它的局限性，本系列文章就来具体阐述其中的一种问题：高精度运算。

先从一个问题说起：编程计算并输出1~40之间的所有数的阶乘。

乍一看题目，似乎很简单：在初学循环语句的时候，累乘问题是一个较基本的问题，实现其功能的代码如下：

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    int i;
    long p = 1;
    for (i = 1; i <= 40; i++)
    {
        p = p * i;
        printf("%d! = %ld\n",i,p);//输出1~40之间的所有数的阶乘值
    }
    return 0;
}

运行一下程序，我们就会发现情况和我们想象的不太一样：

啊这……似乎从十几的阶乘开始，就出现了一些不可描述的错误。为什么会这样呢？

其实这正是因为long类型变量有他存储范围的上限，当超过这个范围时，数值便会溢出，导致发生错误。那么有没有方法可以解决这个问题呢？我们就需要用到数组：用一个包含50个元素的数组存储一个大数，每个数组元素存储大数中的一位数字。

而两个数据的乘法则需要模拟乘法竖式的运算，忘记了竖式运算方法的朋友们可以自行翻阅《人民教育出版社数学四年级上册》第四章：三位数乘两位数[2]哦~（不会吧不会吧不会真的有人不如小学生吧（狗头））

先来复习一下：乘法的竖式运算分为三步：（1）位数多的数的每一位和位数少的数的个位相乘，位数多的数的每一位和位数少的数的十位相乘，……，位数多的数的每一位和位数少的数的最高位相乘；（2）按由乘低位到乘高位的以此往前一位写每一次乘得的结果；（3）所有结果相加，得到最终结果。其中，后位向前进位的步骤蕴含在第一步和第三步中。

乍一听是不是很复杂？其实原理大家都懂，只是描述的方式不同。但其实在乘法的竖式运算的步骤是经过人为把乘法运算简化的，其中第二步就是一个简化的结果，涉及到一些运算技巧。那我们如果要让计算机实现第二步，就显得比较困难。如果位数少的数只有一两位还好办，但如果位数少的数的位数也比较多，这时第二步的处理就会显得尤为复杂。

这时候，我们就要回到多位数乘法的本质：多位数乘法实质上是一个多位数的逐位与另一个多位数相乘，并使后位向前进位，最终得到一个新的多位数。而进位的原则就是让每一位的数都处于0~9之间。

我们先把问题拆解：首先我们要有一个存储大数的数组，于是我们定义一个常量SIZE为51，并定义数组int data[SIZE] = {0};。之所以要定义一个长度为51的数组，是为了在后续判断大数位数是否大于50位，若大于50，数组溢出，则提示错误信息，这就需要另外定义一个变量int index = 1;来记录数组元素个数，表示阶乘值的位数；而把数组初始化为0，是为了避免数组未初始化而产生随机值导致错误。而此后应让data[1] = 1;，准备计算阶乘。

接下来我们要定义一个变量int n;，n的值由用户输入，含义为准备计算的阶乘中的最大数。为避免用户输入非法数据，我们需要检测用户输入数据的合法性：

printf("Input n:");
int ret = scanf("%d", &n);
char c = getchar();
while ((ret!=1)||(n<=0)||(c!='\n'))
{
    printf("Input int n > 0:");
    fflush(stdin);
    ret = scanf("%d", &n);
    c = getchar();
}

具体原理可参见我之前的文章C语言丨检测用户键盘输入数据的合法性，这里不再赘述。

得到了准备计算的阶乘中的最大数后，我们就可以开始使用循环，计算1~n之间所有数的阶乘值了：

for (i=1; i<=n; i++)//计算阶乘i
{
    for (j=1; j<=index; j++)
    {
        data[j] = data[j] * i;//每一位数字都乘以i
    }
}

让第二重循环的执行条件为j<=index而非j<SIZE的原因是index记录的是数组元素的个数，也即该储存的大数的位数，当j>index时，data[j]全部为0，而0乘任何数都为0，就没必要进行多余的计算。

那么使用了这样一个循环条件，必然要在每一次计算中改变index的值。根据我们为index赋值的含义，只要数组中的最高位元素大于等于10，即data[index] >= 10，则意味着该数的位数要大于index，此时则需要执行index++;操作。通过如下代码可实现：

//单独处理最高位，若计算之后的最高位大于或等于10，则位数index加1
while (data[index] >= 10 && index <= SIZE-1)
{
    data[index+1] = data[index] / 10;//向最高位进位
    data[index] = data[index] % 10;//进位之后的值
    index++;//位数index加1
}

其实在处理最高位时，我们已经用到了进位的方法，也即while循环中的前两行，这是进位的核心代码。把index换为k，让k遍历1~index-1的所有值，即可将除最高位之前所有位进位。此段代码应放在处理最高位的前面，因为只有先处理了最高位之前的所有位，才有所谓的“最高位”。

因此我们可以整理得计算阶乘的代码如下：

for (i=1; i<=n; i++)//计算阶乘i
{
    for (j=1; j<=index; j++)
    {
        data[j] = data[j] * i;//每一位数字都乘以i
    }
    for (k=1; k<index; k++)
    {
        if (data[k] >= 10)//若阶乘值的每位数字大于或等于10，则进位
        {
            data[k+1] = data[k+1] + data[k]/10;//当前位向前进位
            data[k] = data[k] % 10;//进位之后的值
        }
    //单独处理最高位，若计算之后的最高位大于或等于10，则位数index加1
    while (data[index] >= 10 && index <= SIZE-1)
    {
        data[index+1] = data[index] / 10;//向最高位进位
        data[index] = data[index] % 10;//进位之后的值
        index++;//位数index加1
    }
}

到此为止，我们已经完成了阶乘计算的操作了，剩下要做的的只有打印阶乘值。这时我们之前定义的SIZE=51以及index就起作用了：若index>50，则表示数组溢出，提示错误信息。

if (index <= SIZE-1)//检验数组是否溢出，若未溢出，则打印阶乘值
{
    printf("%d! = ", i);
    for (j=index; j>0; j--)//从最高位开始打印每一位阶乘值
    {
        printf("%d", data[j]);
    }
    printf("\n");
}
else//若大于50，数组溢出，则提示错误信息
{
    printf("Overflow! \n");
    exit(1);
}

此处，index的作用再一次体现了出来：我们无需处理最高位前的所有0元素，只需从最高位开始打印阶乘值的每一位数即可。

到此，我们就完成了整个题目的代码编写了。让我们来回顾一下整个历程：逐位相乘->后位向前进位->处理最高位->输出阶乘值。下面给出完整的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define SIZE 51
int main(void)
{
    int data[SIZE]={0};//存储50位数，元素全部初始化为0，不使用data[0]
    int index = 1;//数组元素个数，表示阶乘值的位数
    int n;//准备计算的阶乘中的最大数
    int i, j, k;
    data[1] = 1;//初始化，令1！=1
    printf("Input n:");
    int ret = scanf("%d", &n);
    char c = getchar();
    while ((ret!=1)||(n<=0)||(c!='\n'))
    {
        printf("Input int n > 0:");
        fflush(stdin);
        ret = scanf("%d", &n);
        c = getchar();
    }
    for (i=1; i<=n; i++)//计算阶乘i
    {
        for (j=1; j<=index; j++)
        {
            data[j] = data[j] * i;//每一位数字都乘以i
        }
        for (k=1; k<index; k++)
        {
            if (data[k] >= 10)//若阶乘值的每位数字大于或等于10，则进位
            {
                data[k+1] = data[k+1] + data[k]/10;//当前位向前进位
                data[k] = data[k] % 10;//进位之后的值
            }
        //单独处理最高位，若计算之后的最高位大于或等于10，则位数index加1
        while (data[index] >= 10 && index <= SIZE-1)
        {
            data[index+1] = data[index] / 10;//向最高位进位
            data[index] = data[index] % 10;//进位之后的值
            index++;//位数index加1
        }
        if (index <= SIZE-1)//检验数组是否溢出，若未溢出，则打印阶乘值
        {
            printf("%d! = ", i);
            for (j=index; j>0; j--)//从最高位开始打印每一位阶乘值
            {
                printf("%d", data[j]);
            }
            printf("\n");
        }
        else//若大于50，数组溢出，则提示错误信息
        {
            printf("Overflow! \n");
            exit(1);
        }
    }
    return 0;
}

[3]

和高精度加法一样，代码的核心就是人工模拟计算的过程，其中包括加/乘法和进位，只要能解决这两个问题，一切高精度算法都可以迎刃而解。