MATLAB experiment＜3＞

最新推荐文章于 2024-10-30 17:45:40 发布

地表最温柔阿福

最新推荐文章于 2024-10-30 17:45:40 发布

阅读量2.7k

点赞数 6

分类专栏： matlab 文章标签：线性代数矩阵 matlab 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_60787500/article/details/127427640

版权

matlab 专栏收录该内容

8 篇文章

订阅专栏

本文探讨了通过rank函数判定线性方程组解的情况，包括唯一解、无穷解和无解，并利用rref方法求解和特征值特征向量的应用。还结合实际问题如城乡人口流动趋势进行了分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1，解方程组

rank 函数判定解的情况

NULL

rref-------简化的行阶梯形矩阵（Gauss-Jordan 消去法）

设a=(1,2,3),b=(2,4,3), 分别计算a./b, a.\b, a/b, a\b, 分析结果的意义。

1,对应元素分别运算a除以b

2,对应元素分别运算b除以a

3,A/B是A乘B的逆矩阵的意思（/x=乘以x的逆）

4,B\A是B的逆矩阵乘A的意思。（x\=x的逆乘以）

1，解方程组

2. 用矩阵除法解下列线性方程组，并判断解的意义，用矩阵乘法验算。

rank 函数判定解的情况

1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解

2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解

3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

NULL

z=null(a) {返回 A 的零空间的标准正交基}

>>a矩阵*x=0

>>解x

rref-------简化的行阶梯形矩阵（Gauss-Jordan 消去法）

用途为解方程组

(1)唯一解

>> A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];b=[9;-2;1];

>> rank(A), rank([A,b])      
//[A,b]为增广矩阵, 求rank的目的是为了判断解的意义，注意不要写成rank(A,b)。

ans =

     3

ans =

     3    
//可见方程组唯一解

>> x=A\b

x =

    2.3830

    1.4894

    2.0213

（2）唯一解

>> A=[4 -3 3;3 2 -6;1 -5 3];b=[-1;-2;1];

>> rank(A), rank([A,b])

ans =

     3

ans =

     3   %可见方程组唯一解

>> x=A\b

x =

   -0.4706

   -0.2941

         0

（3）无解

>> A=[4 1;3 2;1 -5];b=[1;1;1];

>> rank(A), rank([A,b])

ans =

     2

ans =

     3  %可见方程组无解

>> x=A\b

x =

    0.3311

   -0.1219 %最小二乘近似解

（4）求通解

clear;clc

a=[2,1,-1,1;1,2,1,-1;1,1,2,1];b=[1 2 3]';%注意b的写法

ra=rank(a),rab=rank([a,b])

%结果：

ra = 3

rab = 3

%ra==rab<4说明有无穷多解

x0=a\b

%结果：

x0 =



     1

     0

     1

     0

%x0是一个特解

v=null(a)

%结果：

v =



   -0.6255

    0.6255

   -0.2085

    0.4170

%{v}为齐次方程ax=0的基础解系，从而x=cv+x0(c为任意常数)为方程的通解

使用rref求解：

>> rref([a,b])

ans =

 

    1.0000         0         0    1.5000    1.0000

         0    1.0000         0   -1.5000         0

         0         0    1.0000    0.5000    1.0000

%前4列分别对应x1-x4, 通解x=k*[-1.5,1.5,-0.5,1]'+[1,0,1,0]'

4. (人口流动趋势) 对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇。假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么

(1) 一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？

(2) 很多年以后呢？

(3) 如果现在总人口70%位于城镇，很多年以后城镇人口所占比例是多少？

(4) 计算转移矩阵的最大特征值及对应的特征向量，与问题(2)(3)有何关系？

clc,clear
city=0.2;country=0.8;
y=10;
for i=1:y
    if i==1 | i==2 |i==10
    i
    city=city*0.99+country*0.05
    country=country*0.95+city*0.01
    end
end

很多年之后

city=0.2;country=0.8;
t=0;
y=100000
for i=1:y
    if country==country*0.95+city*0.01
        break
    else
    i,
    city=city*0.99+country*0.05,
    country=country*0.95+city*0.01
    end
end

i =

584

city =

0.8387

country =

0.1677

（3）如果现在总人口70%位于城镇，很多年以后城镇人口所占比例是多少？

（稍作改良）

city=0.7;country=0.3;
t=0;
y=100000
for i=1:y
    if country-country*0.95+city*0.01<=1e-6
        break
    else
    i,
    city=city*0.99+country*0.05,
    country=country*0.95+city*0.01
    end
end

(4) 特征值与特征向量

[V,D]= eig(A) 返回特征值的对角矩阵 D 和矩阵 V，其列是对应的右特征向量，使得 A*V = V*D。

//(4) 计算转移矩阵的最大特征值及对应的特征向量，与问题(2)(3)有何关系？

x0=[0.2 0.8]';a=[0.99 0.05;0.01 0.95];
 x=x0;for i=1:1000,x=a*x;end,x

x =

    0.8333

    0.1667

>> [v,e]=eig(a)

v =

    0.9806   -0.7071

    0.1961    0.7071

e =

    1.0000         0

         0    0.9400

>> v(:,1)./x

ans =

    1.1767

    1.1767    

%v(:,1)与x成比例，说明x也是最大特征值1对应的特征向量