【算法】排列与组合的辨析

一.背景

很多在学c++的人往往容易混淆常规的排列与组合，但其实在常规排列组合之外的还有一种类型——不限个数的排列，那就会有人问了，为什么没有不限个数的组合呢？具体我们往下看。

二.从结果角度分析

从左到右的结果我们可以理解为

往3个相同桶中，放2个不同的球的所有情况（每个桶至少一个）

往3个相同桶中，放2个相同的球的所有情况（每个桶至少一个）

往3个相同桶中，放2个不同的球的所有情况

数学上我们这样表达：

 从这次的结果类比上面的结果我们不难想到，排列与组合是没有意义的。但是不限个数的排列却是可以的，即种情况。

三.从代码角度分析

排列：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+10;

int n,m,a[M],ans;
bool vis[M];

void dfs(int dep,int pre){
	if(dep==m+1){
		for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]);
		printf("\n");
		ans++;
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i]) continue;
		vis[i]=1;
		a[dep]=i;
		dfs(dep+1,i);
		vis[i]=0;
	}
	return;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	cout<<endl; 
	dfs(1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

组合：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+10;

int n,m,a[M],ans;
bool vis[M];

void dfs(int dep,int pre){
	if(dep==m+1){
		for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]);
		printf("\n");
		ans++;
		return;
	}
	for(int i=pre+1;i<=n;i++){
		a[dep]=i;
		dfs(dep+1,i);
	}
} 

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	cout<<endl; 
	dfs(1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

不限个数的排列：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+10;

int n,m,a[M],ans;
bool vis[M];

void dfs(int dep,int pre){
	if(dep==m+1){
		for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",a[i]);
		printf("\n");
		ans++;
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[dep]=i;
		dfs(dep+1,i);
	}
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	cout<<endl; 
	dfs(1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

不难发现，三个的区别无非就在于dfs中for循环的起始值与后续的标记数组

起始值为1         有标记数组排列

起始值为pre+1  无标记数组组合

起始值为1         无标记数组不限个数的排列

那么回到最开始的问题，是不是有

起始值为pre+1  有标记数组不限个数的组合呢？

尝试过后我们发现结果和组合的结果是一样的。因为标记数组旨在防止重复的编号进入数组，而如果for循环从pre+1开始，永远不会有“回头”的编号，因此标记数组就无用了。