【数据结构】算法和算法评价-时间复杂度和空间复杂度分析

算法和算法评价

算法的基本概念

• 定义：给定计算问题，算法是一系列良定义(定义明确无歧义)的计算步骤(计算机可实现的指令)
  • 算法的特性
    • 有穷性 算法必须在有限步数内输出结果
    • 确定性 算法必须没有歧义
    • 可行性 可以机械的一步步的执行的基本操作步骤
  • 算法的优劣性比较
    • 正确性 能够正确的求解出问题
    • 可读性 能够帮助人理解
    • 健壮性 能够对不良输入作出处理或相应的反映，而不会莫名其妙输出结果
    • 高效性与低存储量性

我们在讨论时间复杂度时，首先要搞清楚的是一个程序的运行速度和什么有关。32位的计算机和64位的计算机相比，c语言和汇报语言相比，VS软件的DEV－CPP相比，都是有差距的。程序的执行速度和机械性能，编程语言和编译程序产生的机械指令都有关系。但我们现在关注的是程序算法本身，而不关注外界因素。因此后续我们讨论算法的时间复杂度时，忽略外界因素，只讨论算法程序本身在数学上的复杂程度。

算法的时间复杂度

• 时间复杂度 事先预估算法的时间开销T(n)与问题规模n的关系

我们先来观察一个程序：

//插入排序 输入：a b 两个数组，a数组为原数组，b数组为排序后的数组 
int LENGTH=n;
int Insert_Sort(int a[],int b[])
{
	int num=0;
	for(int i=0;i<LENGTH;i++){//先将a数组的值送到b 
		b[i]=a[i];
	}
	//插入排序 
	for(int i=1;i<LENGTH;i++){
		int key=b[i];
		int j=i-1;
		while((j>=0)&&(b[j]>key)){
			b[j+1]=b[j];
			b[j]=key;
			j--;
			num++;
		} 	
	}
	return num;
}

上述是一个插入排序的ｃ语言程序，我们来看一下每一句的执行频次：

//插入排序 输入：a b 两个数组，a数组为原数组，b数组为排序后的数组 
int LENGTH=n;
int Insert_Sort(int a[],int b[])
{
	int num=0;								执行1次
	//先将a数组的值送到b
	for(int i=0;i<LENGTH;i++){ 				执行n+1次
		b[i]=a[i];							执行n次
	}
	//插入排序 
	for(int i=1;i<LENGTH;i++){				执行n次
		int key=b[i];						执行n-1次
		int j=i-1;							执行n-1次
		while((j>=0)&&(b[j]>key)){			执行n-1——(n-1)*(n-1)次
			b[j+1]=b[j];					执行n-2——(n-1)*(n-2)次
			b[j]=key;						执行n-2——(n-1)*(n-2)次
			j--;							执行n-2——(n-1)*(n-2)次
			num++;							执行n-2——(n-1)*(n-2)次
		} 	
	}
	return num;								执行1)次
}

将所有次数加起来为：10n-8——9n^2-9n+10

• 时间复杂度分析
  • 是否可以忽略时间开销表达式中的某些部分
    • 可以只考虑阶数高的部分
    • 问题规模足够大时，常数项系数可以忽略
  • 如果代码数较多，需要一条一条分析时间复杂度吗？
    • 顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略
    • 只需要挑选循环中的一个基本操作分析它的执行次数与n的关系即可
    • 如果有多重嵌套循环，只需关注最深层循环循环了几次
  • 计算时间复杂度
    • 找到一个基本操作（最深层循环）
    • 分析该基本操作的执行次数x与问题规模n的关系x=f(n)
    • x的数量级O(x)，就是算法时间复杂度T(n)
  • 常用技巧
    • 加法规则：
    • 乘法规则：
  • 三种复杂度
    • 最坏时间复杂度
    • 平均时间复杂度
    • 最好时间复杂度

算法的空间复杂度

• 计算空间复杂度
  • 普通程序
    • 找到所占空间大小与问题规模相关的变量
    • 分析所占空间x与问题规模n的关系x=f(n)
    • x的数量级O(x)就是算法空间复杂度S(n)
  • 递归程序
    • 到递归调用的深度x与问题规模n的关系x=f(n)
    • x的数量级O(x)就是算法空间复杂度S(n)
    • 注：有的算法各层函数所需存储空间不同，分析方法略有不同
• 常用技巧
  　　- 加法规则
  　　- 乘法规则