快速幂原理及模板附练手题：P1226 【模板】快速幂||取余运算

玛卡左家陇分卡

已于 2022-12-09 13:53:00 修改

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分类专栏： java算法洛谷文章标签：算法

于 2022-12-09 12:20:15 首次发布

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问题分析：如果使用常规方法，计算 $a^{n}$ 的时间复杂度为O(n)，数据量大的时候耗时久。但使用快速幂的话，可以将时间复杂度降低到O(logn).
快速幂原理：基于二进制，将正整数n二进制拆分成 $n = b_{n-1}b_{n-2}...b_{0} , b_{i}\in \left \{ 0, 1 \right \}$ ，即 $n = 2^{n-1}b_{n-1} + 2^{n-2}b_{n-2} +...+2^{0}b_{0}$ $\Rightarrow a^{n}=a^{2^{n-1}b_{n-1}+2^{n-2}b_{n-2}+...+2^{0}b_{0}}$ $\Rightarrow a^{2^{n-1}b_{n-1}}*a^{2^{n-2}b_{n-2}}*...*a^{2^{0}b_{0}}$
打个比方： $a^{11}=a^{2^{0}+2^{1}+2^{3}}$ $\Leftrightarrow$ $11=2^{3} * 1+2^{2}*0+2^{1}*1+2^{0}*1$ （11的二进制是1011）因此，我们将 $a^{11}$ 转化为 $a^{2^{0}}*a^{2^{1}}*a^{2^{3}}$
代码求解：我们可以利用二进制特性进行求解，从右向左对a的二进制的每一位进行处理，该位为1就进行计算，为0则忽略，将每一位处理得到的结果相乘就得到最终答案。

详细代码:

private static long ksm(long a,long n,long mod){ //求解a的n次方，对mod除余
    long res = 1;    //初始化最终结果
    while(n > 0){
        if((n & 1) > 0) {
            //如果该二进制位为1，那么进行计算
            res = res * a % mod;
        }
        //n右移一位，进行二进制下一位的计算
        n >>= 1;
        //相应地，a随之增大
        a = a * a % mod;
    }
    return res;
}

下面给一道练手的题目:

P1226 【模板】快速幂||取余运算 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)https://www.luogu.com.cn/problem/P1226AC代码:

import java.util.Scanner;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        //数据输入
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int a = sc.nextInt();
        int b = sc.nextInt();
        int p = sc.nextInt();
        long ans = ksm(a,b,p);
        System.out.println(a+"^"+b+" mod "+p+"="+ans);
    }
    private static long ksm(long a,long n,long mod){
        long res = 1;
        while(n>0) {
            if((n & 1) > 0){
                res = res * a % mod;
            }
            a = a * a % mod;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
}